積分幾何を用いた簡約リー群の無限次元表現の研究

2019 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 16K05122
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 関口 英子 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (50281134)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: ペンローズ変換 / ユニタリ表現 / 有界対称領域 / 表現の分岐則 / 複素多様体 / リー群 / グラスマン多様体 / 積分幾何

Outline of Annual Research Achievements

非コンパクトかつ非可換なリー群の既約表現は，その殆どが無限次元の表現である。既約表現が群作用で不変な内積をもつとき，その内積を完備化することによってヒルベルト空間上の既約ユニタリ表現が定まる。既約ユニタリ表現の分類理論は，1940年代に特殊線型群SL(2,R)およびSL(2,C)に対してそれぞれBargmannとGelfandが実行して以来，70年以上にわたって多くの研究がなされているが，まだ不定値直交群などの古典群に対してさえ，完全な分類は完成していない。その困難の一因は，既約な無限次元表現の多くのものはパラメータ付きで構成されるが，パラメータが特異な点に到達すると，その後の振る舞いを理解することが難しくなることにある。
本年度は，当該研究代表者が従前行ってきた「ペンローズ変換による無限次元表現の研究」に立脚し，不定値ユニタリ群の等質多様体として表される，双正則同型ではない2つの複素多様体上の(無限次元の)コホモロジーが変換群の作用をこめて同型となりうるための十分条件を非コンパクトな複素多様体における積分幾何によって，見つけることを目指している。このために，管状型ではない場合の有界対称領域の上の特異なパラメータをもつ正則直線束に着目し，そこに定義されるペンローズ変換の像のみたす偏微分方程式(青本--Gelfand の超幾何微分方程式系の一般化)の構造を調べた。
また次のテーマの準備として，対称性破れ作用素とホログラフィック作用素をコホモロジー空間上で扱うことについて，研究協力者と討議を行った。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本研究は当該研究代表者が従前行ってきた「ペンローズ変換による無限次元表現の研究」に立脚し，その幾何的な解明を目指すものである。
研究目的を達成するため，前年度までの研究で構成したペンローズ変換の像のみたす偏微分方程式の構造を調べるために概均質ベクトル空間の手法を援用して各々の有界対称領域上に構成した偏微分作用素の Bruhat 成分を決定した。

Strategy for Future Research Activity

研究代表者は，昨年度までの研究をふまえて，積分幾何を用いた簡約リー群の無限次元表現の研究を推進する。