2019 Fiscal Year Annual Research Report
Geometric analysis on Kuramochi boundaries
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16K05124
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
加須栄 篤 金沢大学, 数物科学系, 教授 (40152657)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
服部 多恵 石川工業高等専門学校, 一般教育科, 准教授 (40569365) [Withdrawn]
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 非再帰的ネットワーク / 倉持境界 / ディリクレ・ノイマン写像 / モスコ型収束 / ディリクレ境界値問題 / ペロン法 / リウヴィユ性 / 大森-ヤウ型の弱最大値原理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非再帰的ネットワークを考える。有界領域（有限連結部分集合）の境界上ディリクレ‐ノイマン写像とよばれる作用素が定まる。境界上の関数に対して、そのノルム（の二乗）を調和に拡張した関数のディリクレエネルギーとすることによって、ディリクレ空間の構造が入り、それに付随した作用素がディリクレ‐ノイマン写像である。本研究において次のことを発見した。『増大しながら全体を覆いつくす有界領域の列において、各領域の境界とその上のディリクレ‐ノイマン写像は塩谷‐桑江の意味でモスコ収束する。その収束極限は、非再帰的ネットワークの倉持境界とその上のディリクレ空間に付随する作用素である。さらにグリーン関数が無限遠方でゼロに収束するとき、この収束は漸近コンパクトである。』ここでモスコ収束は、ディリクレ形式に関するある種の変分収束のことで、固有値、固有関数など作用素のスペクトルに関する収束が伴う。
モジュラー列空間の枠組みにおける非線形抵抗ネットワークの非線形ポテンシャル論の展開として、エネルギー有限な関数の族から生成される無限ネットワークの（重み付きグラフ）の倉持型の理想境界上のディリクレ境界値問題を取り上げる。主結果は、この問題に対して、ペロン法が適用できるというものである、すなわち理想境界上の任意の連続関数が可解であることを証明する。解の挙動に関する境界の正則性の十分条件も与える。
さらに非線形ポテンシャル項をもつラプラス作用素に関する先駆け研究として、有界正値解に関するリウヴィユ性、カジミンスキイ条件、大森-ヤウ型の弱最大値原理などの同値性や正値優解の最小増大度、具体的判定条件について成果を得る。
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