2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K05125
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
田中 祐二 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 研究員 (00647993)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 完全障害理論 / 仮想基本類 / 壁越え公式 / ウーレンベック・コンパクト化 / ゲージ理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成29年度は，まず解析的研究において，コンパクトKahler曲面上のVafa-Witten方程式の解の列を考え，Taubes氏が4次元多様体上のこの方程式の解の列に対して導入しその実2次元Hausdorff次元が有界であることを示したある特異集合が，実はこの場合解析的部分多様体の構造を持つことを明らかにした．これとKapustin-Witten方程式の場合の同様の解析を一つの論文にまとめ，専門誌に投稿し3月には査読を通り受理された．
代数的研究に関しては，Imperial College LondonのThomas氏と執筆した代数的研究に関する2編の論文の改訂作業を進め，改訂版をarXivで公表するとともに，これらも専門誌に投稿した．
また，これらの研究に関して，大阪大学，明治大学，京都大学，Oxford大学，Trinity College Dublinにおけるセミナーで口頭発表を，またTrinity College Dublinでは談話会での講演も行った．
さらに，平成29度後半から，代数幾何学的研究に関連して，Oxford大学のJoyce氏と共同で，「完全障害理論」を持つArtin stackに対して，仮想類を構成するという研究を進めている．この研究は現在進展中のJoyce氏の壁越え公式に関する深い洞察に基づく研究で本質的な部分を担うものである（Joyce氏の研究では，例えば，この仮想類が安定性条件等を動かした場合どのように振る舞うかが記述される）．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Vafa-Witten方程式および関連するKapustin-Witten方程式の解の挙動およびその特異集合に関する解析的研究をまとめた論文が学術専門誌Geometriae Dedicataの査読を通り掲載されることとなった．
さらに，代数的研究に関しても，Oxford大学のJoyce氏と上述の仮想類の構成に関する研究を始め多くの進展を得た．
また講演，研究打合せを通して，これらの研究の今後の進展に有益な多くのフィードバックを得ることができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成30年度は，コンパクト4次元シンプレクティック多様体上への拡張を視野に入れたコンパクトKahler多様体上のVafa-Witten方程式の解の列の挙動およびその特異集合に関する研究をさらに進める．
代数的研究に関しては，引き続きJoyce氏と共同で，上述の「完全障害理論」を持つArtin stackに対して仮想類を構成するという研究を進める．これを用いてDonaldson-Thomas不変量やVafa-Witten不変量, さらには望月氏のDonaldson型不変量等においてmoduli空間がstrictly semi-stablesを持つ場合の新しい定式化を考えたい．
いずれも国内外の関連する研究者と議論を重ね進めていく予定である．
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| Causes of Carryover |
予定していた出張および物品購入を中止したため残額が生じた．
次年度も，研究機関の訪問および学会等へ参加を通して行う研究発表・研究打ち合わせ・情報収集のための旅費また書籍等の物品購入に使用する．
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