2018 Fiscal Year Research-status Report
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16K05126
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| Research Institution | Nagoya Institute of Technology |
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Principal Investigator |
足立 俊明 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (60191855)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 隣接作用素 / ペロン・フロベニウスの定理 / ２部グラフ / 最大固有値 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度までの考察で、主グラフと補助グラフが作る２つの隣接作用素が可換になる有限正則ケーラーグラフの (p,q)-ゼータ関数は、主グラフと補助グラフが作る２つの隣接作用素の固有値により完全に記述できることがわかった。このゼータ関数の正則領域や極の様子は (p,q)-隣接作用素の固有値の内で絶対値が最大になるものにより記述されることから、このような固有値について考察を行った。
有限ケーラーグラフの２つの隣接作用素が可換である場合、これらは同時対角化可能であるから固有関数がどのように対応しているかを調べることで (p,q)- 隣接作用素の固有値の様子を調べることができる。主グラフ補助グラフの連結性を仮定すると、それぞれの作用素についてペロン・フロベニウスの定理を適用することができるので、定数関数に対応する正の最大固有値を持つか、同じ絶対値を持つ正負２つの固有値を持つか(２部グラフの場合)になる。また正則グラフの多重ステップグラフに関して、次数２の円形グラフの場合を除いて非２部グラフ性が保たれることが、固有値に関する漸化式の考察でわかった。円形グラフの場合は頂点数により多重ステップグラフの２部グラフ性を判断することができるので、可能になる主グラフ補助グラフの組合せを調べることで (p,q)- 隣接作用素の最大固有値を求めた。
なお、前年度の考察を基に、トルコで行われた国際研究集会 ICRAPAM2018 やルーマニアで行われた２国間セミナー Geometric Days in Iasi 2018においてケーラー磁場の軌道の漸近挙動について報告を行い、今年度の考察の途中経過も含めてブルガリアで行われた ICDG2018 においてケーラーグラフのゼータ関数と頂点推移的ケーラーグラフの固有値に関する中間発表を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
プライベートな理由で遅れていた前年度までの計画を取り戻すべく精力的に研究活動を行った。
計画に従ってブルガリア・ベリコタルナボ大学において「第６回微分幾何とその関連分野における国際会議(ICDG2018)」を共催し、自らは隣接作用素が可換なケーラーグラフの最大固有値に関して中間発表を行った。会議自体は日本の研究者の協力もありブルガリアやルーマニアの研究者と学術交流を行うことができた。特にケーラーグラフの連続版であるアダマール等質空間に関する情報を得ることができた点は大いに収穫であった。また国際会議 International Conference on Recent Advances in Pure and Applied Mathematics (ICRAPAM2018 トルコ)や国際セミナー(ルーマニア・ヤシ工科大学)において磁場の軌道とケーラーグラフとの関連性や軌道の性質について中間発表を行った。特にヤシ大学とヤシ工科大学には磁場による軌道を研究している複数の研究者がおり、彼らは符号つき計量を扱っていてリーマン計量だけを対象としている研究代表者とは感覚がなかなか合わない場面も多かったが、彼らとの情報交換は今回の研究を基にした次のステップに向けて非常に有益であり、この面では予定以上に進展していると考えている。
一方、国内での情報収集を基にした活動に関しては、少し遅れているといわざるを獲ない。これはトルコの政情不安に対応して安全性を重視してイスタンブールでの宿泊を避けた結果、トルコへの出張費が当初予定額の２倍近くかかったこともあり、国内旅費としてほとんど使うことができなかったことによる。電話や電子メールにより情報収集を行ったが、直接会って討議するのに比べると不十分であった。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究過程で、ケーラーグラフに対して (p,q)-ゼータ関数を定義してその性
質を考察し、特に正則域を示す隣接作用素の最大固有値に関して情報を得ることに成功した。磁場の影響下による軌道を考察しており軌道の向きを変えると磁場も変わることから自然なことではあるが、ケーラーグラフ自体は非有向グラフであるにもかかわらず、(p,q)-ゼータ関数は有向グラフや力学系に対するゼータ関数と同様な性質を有していて、非有向グラフに対する伊原ゼータ関数の様子とはかなり異なっている。そこで、主グラフと補助グラフの隣接作用素が可換であるケーラーグラフの場合について、双対ケーラーグラフを考え (p,q)-２色彩道の同一視を行うことで伊原型のゼータ関数を導入することを今年度の目標とする。このようなケーラーグラフでは (p,q)-隣接作用素が対称作用素になることがわかっており、この性質は、複素空間形におけるケーラー磁場の軌道によるランダム・ウォークを生成する磁性平均化作用素と同じ性質であり、今回の研究では取り上げてはいないが、軌道に対するセルバーグ型ゼータ関数の考察にもつながる物と捉えている。
今年度は最終年度ということもあり、対応する連続モデルについても考察を進める。佐々木磁場の軌道に関しては Bao 教授(中国・内モンゴル民族大学)と共に複素双曲空間における B 型実超曲面において外的形状が接触２次という点を持つ性質について考察を行い、この超曲面の特徴付けを考えていきたい。また、複素空間形内のA型実超曲面のいくつかは佐々木空間形とよばれる性質を持つことから、前田定廣名誉教授(佐賀大学)と連絡を取り、測地線の長さの分布について考察する予定である。できればチェコで行われる国際研究集会(DGA2019)にて発表を行いたい。
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