2019 Fiscal Year Research-status Report
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16K05126
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| Research Institution | Nagoya Institute of Technology |
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Principal Investigator |
足立 俊明 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (60191855)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 実超曲面 / 佐々木磁場 / 軌道の外的形状 / 佐々木空間形 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度までに主グラフと補助グラフの隣接行列が可換という性質に注目し等質空間に対応するケーラーグラフの構成とその固有値に関する考察を行ったので、今年度は対応する連続モデルについても考察を進めた。
まず、佐々木磁場の軌道に関して、複素双曲空間における B 型実超曲面において佐々木磁場の軌道を複素双曲空間の曲線と見たときある実2次曲面に接触する点、すなわち、外的形状が接触２次という点を持つかという問題を考察した。複素双曲空間において等質で主曲率が一定である実超曲面はA型とB型のみであるが、A型実超曲面とは異なり佐々木磁場の軌道の構造捩率が定数関数ではないことから、その外的形状については全く考察されていなかったが、接触点という性質を考えることで、接触点での曲率と捩率との関係から超曲面の族におけるB型の特徴付けをBao 教授(中国・内モンゴル民族大学)と共同で行った。
一方、A型実超曲面のいくつかは接触構造から佐々木空間形とよばれるものになっていて複素射影空間や複素双曲空間などの複素空間形に対応している。今回この等質性が非常に高い多様体について閉測地線の長さの分布状況を調べた。ファイ断面曲率とよばれる佐々木空間形の様子を表す曲率 k を指標として、ホロ球面が対応するk= -3 の場合は全ての測地線は無限遠点に発散し閉測地線を持たず、k= -3 の近くを除き閉測地線は長さだけで合同性がわかり、k= -3 の近くでは k が有理数であるか無理数であるかで様子が変化し、有理数である場合には同じ長さの閉測地線が複数ありその量は長さに関して多項式より遅い速度で増大する、という結果を得た。この内容に関してはチェコで行われた国際研究集会(DGA2019)にて共同研究者である前田定廣氏(佐賀大学名誉教授)により共同研究として報告を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究面では順調に進展し当初の計画を達成できたが、最終年度として国際研究集会等での成果発表の面で計画変更を余儀なくされ遅れている。
研究内容としては、まず Bao 教授が研究代表者の元へ訪問されたこともあり、以前に行ったA型実超曲面に関する考察を発展させることで佐々木磁場の軌道の外的形状からB型実超曲面のあるクラスを特徴付けることに成功した。時間的な幅を持った観察が必要であったものを1点での瞬間的な観察に変更できた点でも重要であると考えている。また前田定廣氏とは佐々木空間形という対称性の高い対象を扱うことで、その上での閉測地線の様子を完全に記述することに成功した。これらはケーラーグラフの連続モデルとして、ケーラーグラフの考察に大きく影響を与えるものである。
Bao教授との共同研究は論文という形で公表を行い、前田定廣氏との共同研究についてはチェコ共和国で開催された微分幾何とその応用国際研究集会2019において前田氏による発表という形で公表を行った。当初は研究代表者も登壇を予定していたが集会の期間が他の国内用務と重なったこともあり断念した。このため参加した海外の研究者との情報交換の機会を失い計画遂行の遅れにつながっている。国内での発表としては1つの会議で基調講演を行ったが、感染症の流行という予期せぬ事態により国内での研究集会のいくつかが中止になったこともあり成果発表という点では不十分な状況である。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究成果の国内外での研究集会での発表のために研究期間の延長を申請した。感染症の影響もあり不確実ではあるが、北マケドニア・スコピエで予定される第9回欧州数理科学国際研究集会(IECMSA2020, 8月)とトルコ・ボドラムで予定される第7回数理科学の展開国際会議(ICRAPAM2020, 9月)において発表する予定である。前者では主グラフと補助グラフの隣接作用素が可換であるケーラーグラフについて、これらのグラフの固有値と (p,q) 2色彩道による誘導グラフの隣接作用素の固有値との関係を、後者では有向ケーラーグラフのゼータ関数と力学系のゼータ関数との対応について報告する。
また1年の延長期間を利用して (p,q) 誘導グラフの固有値の様子が元の主グラフと補助グラフの性質からわかるケーラーグラフの構成法として、積型ケーラーグラフを考察する。2つの通常のグラフから頂点集合が直積集合になるようなケーラーグラフの構成法は過去の研究で調べた。誘導グラフの様子がわかるためには、主グラフ補助グラフ共に連結でそれらの隣接作用素が可換になる必要がある。昨年度の研究でこの条件の下で主グラフと補助グラフの2部性が重要な意味を有することがわかっているので、積型ケーラーグラフを構成したときその主グラフと補助グラフの連結性と2部性について考察する。
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| Causes of Carryover |
国際研究集会（チェコでの微分幾何研究集会DGA）の期間が他の用務による拘束期間と重なり成果発表を参加できた共同研究者に任せて自身は参加を見送った。一方国内での成果発表は、12月に研究代表者も主催者の一員として自身が所属する大学で開催し旅費が不要であったことに加え、コロナウィルスの関係で日本数学会ははじめとする出張や発表を予定していた複数の研究集会が全て中止になったことによる。
DGAに参加できないことが決まってから第9回欧州数理科学国際研究集会(北マケドニア8月)と第7回数理科学の展開国際会議(トルコ 4月が9月に延期)での発表を予定し既に登録済みであるが、これ以外にも参加を検討した国際会議も1年延期されるなど、コロナウィルスの関係で国境封鎖も行われており参加の可能性は不透明である。国内会議でも現時点では5月に仙台9月に数学会(熊本)11月に前年度延期となった金沢への参加を予定しているが不確実と言わざるを得ない。このような状況の中でこれまでの成果をいくつかの論文にまとめて投稿するつもりである。
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Research Products
(5 results)
