2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05128
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| Research Institution | Kyoto Institute of Technology |
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Principal Investigator |
井川 治 京都工芸繊維大学, 基盤科学系, 教授 (60249745)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 対称三対 / 擬リーマン対称空間 / Hermann作用 / 超極作用 / 対称空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
[1] 対称空間論におけるコンパクト型対称空間と非コンパクト型対称空間の双対性を拡張した一般化された双対性を発見した．これはコンパクト対称三対と擬リーマン対称対の間の一対一対応を与える．言い換えると重複度付き対称三対と擬リーマン対称対の間の一対一対応が与えられる．このことと重複度付き対称三対の分類を用いて，Bergerによる擬リーマン対称空間の局所同型類の分類の別証明が得られた．また，別証明の途中のステップの結果を用いることでLeungによるコンパクト型対称空間内の鏡映部分多様体の分類の別証明，Leungと竹内勝が独立に示したコンパクト型エルミート対称空間内の実形の分類の別証明も得られた．これは東海大学 笹木集夢と東京理科大学馬場蔵人との共同研究である．Berger自身による証明は非常に煩雑であるが我々の方法は体系的であり基本的な方法であるという点に意義がある．得られた成果は共同研究者が日本数学会，韓国におけるワークショップなどで発表した．現在，論文を執筆中である．
[2] コンパクト単純リー群上に有限位数の自己同型写像を考えると，その固定部分群のワイル群は自然に元のコンパクト単純リー群のワイル群の部分群になることが示せた．これは法政大学 間下克哉と広島大学 奥田博幸との共同研究である．現在，論文を執筆中である．
[3] コンパクト単純リー環上に二つの対合を与えたとき，一方を内部自己同型写像で動かして二つの対合を可換にできるとき，二つの対合を可換化可能という．二つの対合が可換化可能になるための必要十分条件をそれらの佐武図形で判定する手順を与えた．さらに，このとき可換な二つの対合から重複度付き対称三対が定まるが，この全情報を二つの佐武図形から決定できた．これは馬場との共同研究である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
一般化された双対性を発見したとき，Bergerの分類定理の再証明ができるところまでは予想できたが，それを利用して鏡映部分多様体や実形の分類の再証明ができることまでは予想できなかった．また，コンパクト単純リー群の対合による固定部分群のワイル群は元のコンパクト単純リー群のワイル群の部分群になることまでは予想できたが，対合の部分が有限位数の自己同型にまで拡張できるとは予想していなかった．これらの点で当初の計画以上に進展している．
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| Strategy for Future Research Activity |
(1) これまでに得られた結果をHermann型作用の軌道の幾何学に応用すること．
(2) 擬リーマン対称空間に自然な方法で鏡映部分多様体を定義し，その性質を調べ，分類すること．
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| Causes of Carryover |
当初，論文Osamu Ikawa著, The geometry of orbits of Hermann type actions, Proceedings of ICDM 2016が年度内に出版される予定で，そのための投稿料を見込んでいたが，出版が遅れ，年度内には出版できなくなっため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
当初の計画通り論文Osamu Ikawa著, The geometry of orbits of Hermann type actions, to appear in Proceedings of ICDM 2016の投稿料に使用する．
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