2017 Fiscal Year Research-status Report

非退化閉2次微分形式を用いたコンパクト複素等質多様体の研究

Research Project

Project/Area Number	16K05131
Research Institution	Shimane University
Principal Investigator	山田拓身島根大学, 総合理工学研究科, 准教授 (40403117)
Project Period (FY)	2016-04-01 – 2019-03-31
Keywords	等質空間 / 複素構造 / ドルボーコホモロジー群 / ベキ零多様体 / ホッジ数 / 擬ケーラー構造
Outline of Annual Research Achievements	実リー環を複素化し、複素化で得られた複素リー環から係数制限で得られる実リー環の複素構造について主に研究をおこなった。なおリー環上の可積分な複素構造はリー群上の可積分な左不変複素構造を誘導し、リー群上の左不変な複素構造から適当な条件下でその等質空間上の複素構構造が構成できる。複素ハイゼンベルグ群は実ハイゼンベルグ群の複素化と考えることができる。複素ハイゼンベルグ群を、複素多様体が実多様体とも考えられるように、実リー群と考える。その上の左不変複素構造を考察し、それから誘導されるコンパクトベキ零多様体上の異なる不変複素構造に対して、ホッジ数に関する関係式を得て、その結果をA型のルート系から系列的に構成できるコンパクトベキ零多様体のホッジ数に関して一般化していた。また、実部分リー環分解をもつ実リー環を複素化し、複素化で得られた複素リー群を実リー群とみなすことで、分解に付随した左不変複素構造をリー群上に構成する方法を以前に得ていたが、すべての左不変複素構造がその方法でできることを示した。構成された複素構造をもつリー環のドルボーコホモロジーの次元(ホッジ数)ともともとの実部分リー環分解をもつリー環のコホモロジーの関係について研究をおこない、ハイゼンベルグ群のように異なる不変複素構造のホッジ数の関係式を導く要因となる式を得た。さらにリー環の複素構造に対応するリー群の複素座標系の具体的な計算方法について研究をおこなった。正則ベクトル場を具体的に計算できるようになり、変形理論を進めるための準備ができた。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 実リー環を複素化し、複素化で得られた複素リー環から係数制限で得られる実リー環の複素構造について主に研究をおこなった。リー環の複素構造と、もともとの実リー環の実部分リー環の関係が詳しくわかり, ホッジ数と、もともとの実リー環の実部分リー環の関係式が得られるなど十分な結果が得られたため。
Strategy for Future Research Activity	引き続き、ベキ零多様体における具体例を参考にし, 等質空間上の不変複素構造、ホッジ数、非退化閉2次微分形式と正則ベクトル場の関係について中心的に研究をおこなう。
Causes of Carryover	ドイツへ情報収集に行くに予定であったが、研究推進に大きく関わる研究会が平成3０年６月にイタリアで開催されることとなった。その研究会参加のため、ドイツでの情報収集のやめ、平成29年度旅費の使用額を少なくした。本研究で必要となる研究費は、主に旅費である。次年度においても変わらない研究会やセミナーに参加して, 多くの研究者と情報交換を通じて最新の研究成果を収集する。また, 研究協力者と定期的に情報交換等をし、コンパクト複素等質多様体の研究をする。