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2016 Fiscal Year Research-status Report

等質リーマン多様体の局所等長埋め込みと可積分条件

Research Project

Project/Area Number 16K05132
Research InstitutionHiroshima University

Principal Investigator

阿賀岡 芳夫  広島大学, 理学研究科, 教授 (50192894)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 田丸 博士  広島大学, 理学研究科, 教授 (50306982)
澁谷 一博  広島大学, 理学研究科, 准教授 (00569832)
奥田 隆幸  広島大学, 理学研究科, 助教 (40725131)
橋永 貴弘  北九州工業高等専門学校, 生産デザイン工学科, 助教 (40772132)
Project Period (FY) 2016-04-01 – 2020-03-31
Keywordsリーマン多様体 / 等長埋め込み / 微分方程式 / ガウス方程式 / コダッチ方程式 / 不変式
Outline of Annual Research Achievements

今年度は次の二つの課題について研究を行った。
1.局所等長埋め込みの存在・非存在性について:3次元リーマン多様体を4次元ユークリッド空間に埋め込む場合について、リベルツの条件式(曲率に関する1階の偏微分方程式で、コダッチ方程式を導くことを可能とする条件式)を局所座標を用いて表現した。一般にこれは膨大な長さの式になるが、リーマン計量が各点で対角形であり、かつその対角成分が局所座標のうちの1つを使った1変数関数になる場合、比較的コンパクトな形(5~6行程度の長さ)にまとめ直すことができた。この場合、リベルツの条件式はリーマン計量に関する線形単独2階常微分方程式に帰着されるが、この微分方程式の一般解を求めることに成功した。この事実は、リベルツの条件式が可積分系の立場から見て、非常に素直で考察するに値する微分方程式であることを示唆している。またこの結果、非常に多くのリーマン計量について局所等長埋め込みの存在性が内在的な量のみによって示されたことになる。
2.等質リーマン計量の局所等長埋め込みと可積分条件:3次元ユニモジュラーリー群上の左不変計量について、ガウス方程式の可解性と同値となる曲率の3次不変式を、リー環の構造定数とリーマン計量(この場合は、3次対称行列)とを用いて表す公式を得た。不思議なことに、この式の分母と分子は相当に簡約化され、最終的には分子は構造定数・リーマン計量の成分のそれぞれ6次式の形となる。ただ、この式も一般に膨大な長さの式になるため、これを表現論的にみてまとまりのよい形に整備し直す課題が残されている。3次元の場合はリー環の分類結果を用いることにより、ガウス方程式の可解性については既に最終的な結果が得られていたが、この不変式を用いると、分類結果に依存しない証明が可能となる。またこの結果、同様の問題の高次元版の解法への道筋が明瞭になった点も大きい。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

昨年5月に提出した「研究実施計画」には (A)、(B) 局所等長埋め込みの存在性・非存在性を示すこと、(C) 研究全体の基盤を成す部分について研究を進める予定と記した。課題(A)、(B) に関しては、特別なケースではあるが、(通常の感覚では解けそうにないほどに長い式の)リベルツの微分方程式を解くことに成功し、これにより4次元ユークリッド空間に等長埋め込み可能な3次元リーマン多様体のクラスが一部明確になった。更に一般的な計量の場合、あるいは次元の高い場合の考察が未着手の課題として残されてはいるものの、可積分な微分方程式のクラスを見出した点において、大きな前進が得られたといってよい。課題(C) に関しては、一般次元の場合の高階曲率テンソル空間上の多項式空間の既約分解公式を計算し、データを蓄積しつつある状況にある。この課題に関しては、まだ具体的な成果が得られるまでには至れていないが、研究は順調にすすんでいるといえる。

Strategy for Future Research Activity

3次元リーマン多様体を4次元ユークリッド空間に埋め込む場合については、(曲率が退化する場合を除いて)「理論」はほぼ完成したといってよい。ただし、主定理の証明において、計算機を用いて確認する部分がまだ数か所残されており、この難所を古典的不変式論で有名な「記号的方法」を用いて解決し、最終的には計算機なしの証明に至る方策を見出したい。この理論が全面的に完成した暁には、高次元・高余次元の場合の等長埋め込み問題のみならず、他の多くの幾何学的課題への応用が期待される。
研究分担者には様々な場面でアドバイスを頂いているが、今後とも密な関係を保ちつつ本研究をすすめてゆきたい。

  • Research Products

    (24 results)

All 2017 2016 Other

All Journal Article (6 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Peer Reviewed: 6 results) Presentation (15 results) (of which Int'l Joint Research: 6 results,  Invited: 14 results) Book (1 results) Remarks (2 results)

  • [Journal Article] On the nonexistence of left-invariant Ricci solitons --- a conjecture and examples2017

    • Author(s)
      Y.Taketomi, H.Tamaru
    • Journal Title

      Transf. Groups

      Volume: - Pages: 印刷中

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Three-dimensional solvsolitons and the minimality of the corresponding submanifolds2017

    • Author(s)
      T.Hashinaga, H.Tamaru
    • Journal Title

      Internat. J. Math.

      Volume: - Pages: 印刷中

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Abundance of nilpotent orbits in real semisimple Lie algebras2017

    • Author(s)
      T.Okuda
    • Journal Title

      J. Math. Sci. Univ. Tokyo

      Volume: - Pages: 印刷中

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] On the moduli spaces of left-invariant pseudo-Riemannian metrics on Lie groups2016

    • Author(s)
      A.Kubo, K.Onda, Y.Taketomi, H.Tamaru
    • Journal Title

      Hiroshima Math. J.

      Volume: 46 Pages: 357-374

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Proper SL(2;R)-actions on homogeneous spaces2016

    • Author(s)
      M.Bochenski, P.Jastrzebski, T.Okuda, A.Tralle
    • Journal Title

      Internat. J. Math.

      Volume: 27 Pages: -

    • DOI

      10.1142/S0129167X16501068

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Homogeneous Ricci soliton hypersurfaces in the complex hyperbolic spaces2016

    • Author(s)
      T.Hashinaga, A.Kubo, H.Tamaru
    • Journal Title

      Tohoku Math. J.

      Volume: 68 Pages: 559-568

    • DOI

      10.2748/tmj/1486177215

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] On homogeneous Lagrangian submanifolds in complex hyperbolic spaces2017

    • Author(s)
      T.Hashinaga
    • Organizer
      The 13th OCAMI-RIRCM Joint Differential Geometry Workshop on Submanifold Geometry and Lie Theory
    • Place of Presentation
      大阪市立大学(大阪府)
    • Year and Date
      2017-03-28 – 2017-03-28
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] リーマン対称空間内の測地線を共有しない全測地的部分多様体の組について2017

    • Author(s)
      奥田 隆幸
    • Organizer
      日本数学会
    • Place of Presentation
      首都大学東京(東京都)
    • Year and Date
      2017-03-26 – 2017-03-26
    • Invited
  • [Presentation] 3 次元リーマン多様体が 4 次元ユークリッド空間へ局所等長埋め込み可能となるための必要十分条件2017

    • Author(s)
      阿賀岡 芳夫、橋永 貴弘
    • Organizer
      日本数学会
    • Place of Presentation
      首都大学東京(東京都)
    • Year and Date
      2017-03-24 – 2017-03-24
  • [Presentation] Left-invariant metrics and submanifold geometry2017

    • Author(s)
      H.Tamaru
    • Organizer
      The 7th International Workshop on Differential Geometry
    • Place of Presentation
      虹の松原ホテル(福岡県唐津市)
    • Year and Date
      2017-03-24 – 2017-03-24
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] リー環の定義方程式・不変量と幾何構造 --- 低次元の場合2017

    • Author(s)
      阿賀岡 芳夫
    • Organizer
      第24回沼津研究会
    • Place of Presentation
      沼津高専(静岡県)
    • Year and Date
      2017-03-07 – 2017-03-07
    • Invited
  • [Presentation] リーマン対称空間中の全測地的部分多様体と擬リーマン簡約型等質空間の対応について2017

    • Author(s)
      奥田 隆幸
    • Organizer
      名城幾何学研究集会「多様体上の計量と幾何構造」
    • Place of Presentation
      名城大学(愛知県)
    • Year and Date
      2017-03-02 – 2017-03-02
    • Invited
  • [Presentation] 双曲平面のひし形タイリング2017

    • Author(s)
      阿賀岡 芳夫
    • Organizer
      研究会 直観幾何学 2017
    • Place of Presentation
      熊本大学(熊本県)
    • Year and Date
      2017-02-11 – 2017-02-11
    • Invited
  • [Presentation] 微分方程式の幾何学と分類問題 I, II2017

    • Author(s)
      澁谷 一博
    • Organizer
      接触構造、特異点、微分方程式及びその周辺
    • Place of Presentation
      金沢大学(石川県)
    • Year and Date
      2017-01-17 – 2017-01-18
    • Invited
  • [Presentation] On homogeneous Lagrangian submanifolds in complex hyperbolic spaces2016

    • Author(s)
      T.Hashinaga
    • Organizer
      Differential Geometry, Lie Theory and Low-Dimensional Topology
    • Place of Presentation
      Melbourne(オーストラリア)
    • Year and Date
      2016-12-20 – 2016-12-20
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] A classification problem for 3rd order PDEs via differential systems2016

    • Author(s)
      K.Shibuya
    • Organizer
      Geometry Seminar in Northeast Normal University
    • Place of Presentation
      Changchun(中国)
    • Year and Date
      2016-12-17 – 2016-12-17
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] リー環の成す variety と幾何構造2016

    • Author(s)
      阿賀岡 芳夫
    • Organizer
      合宿セミナー 2016 in 山口
    • Place of Presentation
      山口紅花舎(山口県山口市)
    • Year and Date
      2016-11-26 – 2016-11-26
    • Invited
  • [Presentation] A classification problem for 3rd order PDEs via differential systems2016

    • Author(s)
      K.Shibuya
    • Organizer
      The 51-th Symposium on Finsler Geometry
    • Place of Presentation
      鹿児島大学(鹿児島県)
    • Year and Date
      2016-11-19 – 2016-11-19
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 複素グラスマン多様体における大対蹠集合を用いた積分近似公式について2016

    • Author(s)
      奥田 隆幸
    • Organizer
      RIMS研究集会「リー型の組合せ論」
    • Place of Presentation
      京都大学数理解析研究所(京都府)
    • Year and Date
      2016-10-04 – 2016-10-04
    • Invited
  • [Presentation] A classification problem for 3rd order PDEs via differential systems2016

    • Author(s)
      K.Shibuya
    • Organizer
      The second China-Japan geometry conference
    • Place of Presentation
      Fuzhou(中国)
    • Year and Date
      2016-09-11 – 2016-09-11
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] R^4 の超曲面として局所的に実現可能なリーマン多様体の内在的特徴付け --- 曲率の1階微分方程式として2016

    • Author(s)
      阿賀岡 芳夫
    • Organizer
      北九州幾何学研究集会
    • Place of Presentation
      九州工業大学(福岡県)
    • Year and Date
      2016-07-09 – 2016-07-09
    • Invited
  • [Book] Challenging Reseraches in Economic Sciences --- Legal Informatics, Environmental Economics, Economics, OR and Mathematics2017

    • Author(s)
      M.Kitahara, C.Czerkawski, O.Kurihara, H.Hasegawa, S.Sakai, T.Takahama, R.Wada, Y.Agaoka, A.Kubo
    • Total Pages
      141 (93-124)
    • Publisher
      Kyushu Univ. Press
  • [Remarks] リー環の成す variety と幾何構造

    • URL

      http://home.hiroshima-u.ac.jp/okudatak/campseminar/16yamaguchi.html

  • [Remarks] リー環の定義方程式・不変量と幾何構造 --- 低次元の場合

    • URL

      http://www.mmm.muroran-it.ac.jp/~masatomo/24thNumazuMeeting.html

URL: 

Published: 2018-01-16  

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