2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K05132
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
阿賀岡 芳夫 広島大学, 理学研究科, 教授 (50192894)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
田丸 博士 広島大学, 理学研究科, 教授 (50306982)
澁谷 一博 広島大学, 理学研究科, 准教授 (00569832)
奥田 隆幸 広島大学, 理学研究科, 講師 (40725131)
橋永 貴弘 北九州工業高等専門学校, 生産デザイン工学科, 講師 (40772132)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | リーマン多様体 / 局所等長埋め込み / 共変式 / 曲率 / 記号的方法 / warped product |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１．前年度までの研究により、３次元リーマン多様体を４次元ユークリッド空間に局所等長に埋め込めるための必要十分条件が具体的に求められていた（ただし、generic な場合の話）。その条件式として非常に長い式（共変式）が現れるため、当初は計算機を使用して計算および証明を確認するしか方法がなかったのであるが、研究分担者の橋永氏と協力してテンソル式の記号的方法による証明法を編み出し、計算機に頼らない証明を完成することができた。記号的方法を導入することにより、長大なテンソル式が行列式・Pfaffian 等の積に分解されることが分かり、手計算だけで証明を完了させることが可能となったことは著しい前進であるといってよい。
２．３次元リーマン多様体が warped product 計量のかたちをしている場合、上記の条件式を具体的に書き下すことに成功した。それは最終的には計量テンソルに関する微分方程式のかたちで表され、またその微分方程式を具体的に解くこともできた。（ただし、２種類ある warped product のうち、まだ１つ分しか完成していない。）その結果、１次元曲線上に２次元リーマン多様体を warped product した３次元多様体が４次元ユークリッド空間に局所等長に埋め込めるための必要十分条件（ただし generic な場合に限る）は、warping 関数が１次式の２乗のかたちをしている場合か、２次元リーマン多様体が非負定曲率空間である場合であることが示せた。また正定曲率の場合、その正定数と warping 関数が満たすべき不等式を具体的に求めることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年の報告書では、特殊なケースについてではあるが、リベルツの条件式を微分方程式に書き換えたものを解くことができることを記したが、今年度の結果はそれを拡張したものにあたり、４次元ユークリッド空間に等長埋め込み可能な３次元リーマン多様体のクラスをさらに広く把握することが可能となった。最終的には一般の３次元リーマン多様体について同様の議論ができるようになることが望まれるが、その際必要になるであろう記号的方法についても今年度の研究で大幅に理解が深まり、全体として研究は順調にすすんでいるといってよい。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究で記号的方法の使い方をを実用レベルにまで引き上げることができたが、これはまだ３次元の場合に限定されており、未知の部分が数多く残されている。等長埋め込み問題に関与するものに限定せず、テンソル式（不変式・共変式）一般としての取り扱いが可能となるところまで記号的方法の理解を深めることが今後の重要な課題であると思われる。一気にゴールに向かうことは難しいであろうが、具体的な問題を通じて取り扱い可能となる範囲を広げてゆくことを目指したい。また、等長埋め込み問題に関しては、さらに次元・余次元が高い空間の埋め込み問題、その可積分条件についての考察を展開する予定でいる。
研究分担者には様々な場面でアドバイスを頂いているが、今後も引き続き密な関係を保ちつつ本研究をすすめてゆきたい。
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Research Products
(20 results)
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[Book] Recent Studies in Economic Sciences: Information Systems, Project Managements, Economics, OR and Mathematics2018
Author(s)
C.Czerkawski, O.Kurihara, H.Dekihara, T.Iwaki, N.Zhang, R.Wada, Y.Agaoka, S.Sakai, T.Takahama, Y.Liu, T.Sato
Total Pages
112 (47-63)
Publisher
Kyushu Univ. Press
ISBN
978-4-7985-0229-8
