2018 Fiscal Year Research-status Report
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16K05132
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
阿賀岡 芳夫 広島大学, 理学研究科, 教授 (50192894)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
田丸 博士 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (50306982)
澁谷 一博 広島大学, 理学研究科, 准教授 (00569832)
奥田 隆幸 広島大学, 理学研究科, 講師 (40725131)
橋永 貴弘 北九州工業高等専門学校, 生産デザイン工学科, 講師 (40772132)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | リーマン多様体 / 局所等長埋め込み / 共変式 / 曲率 / 記号的方法 / warped product |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1.warped product の形をした３次元リーマン多様体について、R^4 に局所等長に埋め込めるための必要十分条件（ただしgenericな場合に限る）をすべての場合について求めることができた。このうち、１次元曲線上に２次元リーマン多様体を warped product したものについては、十分条件を満たすケースについて、具体的に埋め込み写像を構成することに成功した。これは昨年度の結果で存在が抽象的に保証されていたものを、明示的に確認したことにあたる。特に不等式として表されていた条件が、実際に埋め込みを構成する際にどのような形で関わるかについて、明確な理解に至ることができた。
２．初年度の研究において、リーマン計量が対角型であり、その対角成分が座標の１つのみに依存する３次元リーマン多様体について、R^4 に局所等長埋め込み可能となる条件が求められていたが、それはかなり長い式として表示されるものであった。その式を、変数をうまく変換することにより、比較的コンパクトな形に書き直すことができ、その結果として１と同様、具体的に埋め込みを構成することに成功した。これは（定数ではない）１変数関数２個を変形の自由度としてもつリーマン計量の等長埋め込みであり、R^4 に埋め込み可能なリーマン計量全体の中で、今までになかった大きなクラスの埋め込みを具体的な式で構成したことになる。
３．等長埋め込みが存在するための新たな障害を見つける問題において、従来の（私が開発した）方法では計算機を用いた膨大な計算が必要であり、またその結果得られる障害もまた膨大な長さの式となる。そのため、それを簡約表示するための方法として記号的方法を様々な場で工夫・改良する必要があるが、まず第１段階として、ガウス方程式そのものを記号的に表示することに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度までの研究で、３次元リーマン多様体を４次元ユークリッド空間に局所等長に埋め込む問題に関し、いくつかのケースについて埋め込み可能となる必要十分条件を求めていた。それにより存在が保証されていたケースについて、抽象的にではなく具体的に埋め込みを構成することができたことは意外とも言える大きな前進であった。埋め込みの必要十分条件が明示的に求まるケースについては、それがかなり複雑な形をしたものであっても、埋め込みを明示的に構成できるといった原理が成り立つのかもしれない。まだ具体的な成果に至れていない課題が残されている一方、このような予想外の進歩も得られ、全体として研究は順調にすすんでいるといってよい。
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| Strategy for Future Research Activity |
３次元リーマン多様体を４次元ユークリッド空間に埋め込む話については、かなり満足のゆく結果を得る地点に至れた。しかし、多様体の次元、埋め込みの余次元を大きくした場合については、まだ模索状態が続いている。研究をすすめる方法としては、記号的方法を全面的に用いることしか考えられない。実は等長埋め込み問題以外の場においても、記号的方法が有用に働く問題があることが確認されており、それらを参考にしつつ、多角的な視点でもってこの問題を切り崩してゆく予定である。研究分担者には様々な場面でアドバイスを頂いているが、今後も引き続き密な関係を保ちつつ本研究をすすめてゆきたい。
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