2020 Fiscal Year Annual Research Report
Local isometric imbeddings of homogeneous Riemannian manifolds and integrability conditions
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16K05132
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
阿賀岡 芳夫 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 名誉教授 (50192894)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
田丸 博士 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (50306982)
澁谷 一博 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 准教授 (00569832)
奥田 隆幸 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 講師 (40725131)
橋永 貴弘 北九州工業高等専門学校, 生産デザイン工学科, 講師 (40772132)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | リーマン多様体 / 等長埋め込み / モンジュ・アンペール方程式 / 記号的方法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究期間を１年間延長したため、今年度が最終年度となったが、今年度は下記の研究を行った。
１．３次元リーマン多様体の４次元ユークリッド空間への局所等長埋め込み問題に関して、一般的な状況のもとでの必要十分条件が本研究により既に得られているが、その応用としてwarped product 多様体の場合について調べた。底空間が１次元、ファイバーが２次元の場合については前年度までの研究により特徴付けが完成していたが、底空間が２次元、ファイーバーが１次元の場合の研究を今年度行った。リベルツの条件式がこの場合は２個残るのであるが、それらは実はある式を偏微分して得られるものであることを見抜き、その結果 warping 関数がある型の Monge-Ampere 微分方程式の解になるという著しい性質を示すことに成功した。また、この２階偏微分方程式の具体的な解を見つけ、４次元空間に実現可能な非自明な warped product 多様体の例を構成することにも成功した。
２．上述した３次元リーマン多様体が４次元ユークリッド空間に局所等長に埋め込めるための必要十分条件について、その重要な部分であるリベルツの６個の条件式は、実際に書き下すと非常に長い式となり、一見意味不明に見えてしまう類のものであった。その６個の式を記号的方法を用いて一つの簡潔な表示式にまとめ上げることに成功した。それによりこの６個の式がもつ幾何学的な位置づけが明確になると共に、必要十分性を証明する際の式変形が代数的にみて非常に見通しのよい自然なものになった。
本研究で得られた研究成果をまとめた論文「Intrinsic characterization of 3-dimensional Riemannian submanifolds of R^4」を、共同研究者の橋永貴弘氏と現在執筆中で、近々完成の予定である。
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Research Products
(4 results)
