2017 Fiscal Year Research-status Report
埋め込みのなす空間の位相幾何学から見る，有限型不変量の幾何学的解釈
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16K05144
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
境 圭一 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (20466824)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 埋め込みのなす空間 / 配置空間 / グラフ / 分類空間 / 群完備化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
R^jからR^nへの埋め込みで、遠方では標準的な包含写像に一致するものをlong embeddingとよび、特に(n,j)=(3,1)の場合をlong knotとよぶ。Long knotのなす空間の分類空間がshort ropeの空間と弱ホモトピー同値であるという予想（J. Mostovoyによる）の解決（大阪府立大の森谷駿二氏との共同研究）をまとめた論文の修正を行い、同論文が専門誌"Algebraic & Geometric Topology"に採録されることが決定した。
この結果により、short ropeの空間、あるいはそのループ空間を使って、long knotの空間についてホモトピー論的な観点から調べることができるはずである。その手法はいまだ確立されていないが、平成29年度は次のようなことを試みた。
(1) ある種のグラフに付随した配置空間上の積分により、long knotの空間のコホモロジー類を構成する手法が知られている。特に0次コホモロジー類として、本研究の課題である有限型不変量が構成される。その類似は(short) ropeの空間に対しても適用できると思われる。その候補となるようなグラフのなす複体を導入し、積分による微分形式の構成を行った。
(2) Goodwillie-Weissの「多様体解析」と呼ばれる手法は、long embeddingの空間を近似するfibrationを導く。Boavida de Brito-Weissは配置空間のなす圏を用いて多様体解析の変種を提案している。これらが(short) ropeの空間にも適用されることを期待し、これらの手法についての検証を森谷氏や渡邉忠之氏（島根大）、若月駿氏（東京大）らとともに行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
様々な多様体の埋め込みの空間は盛んに研究されているが、本研究の主要な課題である有限型不変量の幾何学的背景を結び目の観点から調べるにあたり、興味の出どころである1次元から3次元へのlong knotの空間Kは非常に重要な対象であり、いっぽうで1次元、3次元という次元に由来する種々の困難のため、研究が難しい対象でもある。本研究では過去の研究との繋がりを踏まえてホモトピー論的な観点からKを調べたいが、次元の制約から研究手法に限りがあって難しい。このため、Kのモノイド構造に注目して群完備化に置き換えて調べることが望ましい。
この状況において、本研究ではその群完備化のdeloopingである分類空間をshort ropeという埋め込みの空間として幾何学的に特徴づけることに成功した。このことにより、Kに近い空間をホモトピー論的に調べる見通しが立っただけでなく、ropeが1次元から3次元への埋め込みであることから、3次元トポロジー的な方法によるKの研究など、課題である有限型不変量の幾何学的背景の解明に向けた道筋が明確になった。またropeそれ自身も興味深い対象であり、例えばropeを使った結び目理論も考えられるが、それは全く未開拓の領域である。本研究の直接的な課題ではないものの、副産物として新たな研究対象が拓けたとも言える。
以上のような現状を踏まえると、本研究はおおむね順調に進展していると言ってよい。
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| Strategy for Future Research Activity |
1次元から3次元へのlong knotの空間の群完備化のdeloopingであるshort ropeの空間を利用した研究を進めたい。結び目の有限型不変量がropeに由来するのではないかという予想に基づき、主に以下のような方法で研究を推進したいと考えている。
(1) Ropeの空間は埋め込みの空間の一種であり、言わばlong knotの空間の元となっているような空間なので、long knotの空間と類似した方法で調べることもできると考えられる。有限型不変量の出どころを探るため、その構成法の一つである配置空間積分により、rope の空間のコホモロジー類を構成することを試みたい。Long knotの場合にも問題になった「アノマリー項」の打ち消し方が今後の課題であり、その解決は結び目の有限型不変量が(short) ropeに由来するという結果を導く。
(2) Long knot をはじめとする種々の埋め込みの空間を調べる手法として、Goodwillie-Weissの多様体解析による埋め込みの空間の近似列がある。これをropeの空間に適用することは自然なアイデアである。余次元が2の場合はこの方法は必ずしも埋め込みの空間を近似しないことが知られているが、一方で0次コホモロジーについては有限型不変量の情報を引き出すことも知られている。この方法をropeの空間に適用し、有限型不変量とropeの関係について調べたい。
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| Causes of Carryover |
当初は海外で開催される国際学会や研究集会への参加渡航費として使用を計画していた予算のうち、インドで開催された「東アジア代数トポロジー研究集会」への参加が大学業務との兼ね合いなどで叶わなかったため、その分が次年度使用額として生じた。次年度使用額は、信州大学で開催予定の研究集会「空間の代数的・幾何学的モデルとその周辺」や、トポロジーに関するセミナー等で講師を招き活発な研究交流を行うために平成30年度請求額と合わせて使用する予定である。
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