2018 Fiscal Year Research-status Report
埋め込みのなす空間の位相幾何学から見る，有限型不変量の幾何学的解釈
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16K05144
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
境 圭一 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (20466824)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 埋め込みの空間の位相幾何学 / グラフ複体 / Lie環のコホモロジー / 双対構成 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1次元Euclid空間からn次元Euclid空間への埋め込みで、無限遠では標準的な包含写像であるものをlong knotとよび、それらのなす位相空間をKと書く。Kの位相幾何学的性質を調べることが研究目標の1つである。平成30年度は以下のようなことを行った。
Kのde Rhamコホモロジー群はグラフのなすコチェイン複体のコホモロジーで記述される。具体的には、グラフに付随する配置空間上の微分形式のファイバー積分によりK上の微分形式が構成され、次元nに関するある条件のもとでは、この対応がコチェイン写像になる。この写像がコホモロジー群の同型を導くことが期待されている。
このような枠組みはあるものの、グラフの組み合わせ的な困難により、3価グラフを除いては具体的なコホモロジー類の例はほとんど知られていない。この状況を打破すべく、M. Kontsevichの「双対構成(dual construction)」を利用することを考えている。これはグラフ複体をあるLie環のなすChevalley-Eilenvberg複体とみなし、あるFrobenius代数からLie環のコホモロジー類を構成するというものである。ここでいうグラフ複体はKに対応するものとは少し異なるので、いくらかの修正が必要である。平成30年度はLie環の構成にあたる部分を主に考察した。このLie環が「正しい」か否かは、今後「双対構成」を実行して検証する必要がある。
上記のこととは別に、杉山龍太郎氏（信州大学修了生）と共同で行っていた、generic平面曲線の分類に関する論文が専門誌に掲載されることとなり、必要な追加や修正を行った。Generic平面曲線は、上記の埋め込みを平面に射影したものと考えることができ、埋め込みの研究に際しても重要である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでは、埋め込みの空間のコホモロジー類の具体例を与えるという研究は、グラフの組み合わせ的な困難の少ない部分に限られていた。「双対構成」を考えることで、より見通し良く、多くの具体例を与えられる可能性が広がってきていると考えられる。
またグラフ複体は低次元トポロジーの諸分野においても重要な対象で、近年はT. Willwacherらが盛んに研究を進め、大域的な構造については多くのことがわかってきている。その知見は埋め込みの場合にも大いに利用されるべきものであり、研究を加速させてくれるものと期待できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成30年度に行った、埋め込みの空間に関する「双対構成」を引き続き実行し完成させたい。Kontsevichが最初に考えた状況と埋め込みの場合とは、非常によく似ているが、埋め込みの分のずれがある。このため、どのように構成するか、若干の選択肢がある。どれが「正しい」のか、試行錯誤が必要になると考えられる。
同様のことは、1次元のみならず、一般の次元の埋め込みに関しても考えるべきことである。1次元での構成が完成したあとは、次元の一般化を考えたい。
さらに、高次元の埋め込みの空間については、次元によってはコホモロジーの「無限次元性」があるものと期待されている。この現象は他の研究手法では捉えるのが難しく、グラフを用いた積分による方法が有力であると考えられる。すでに述べた「双対構成」や、過去に渡邉忠之氏（島根大学）と共同で行った研究の手法を用いたアプローチを考えたい。
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| Causes of Carryover |
大学内での業務のため、国内外での研究集会等への参加を見送ることが多く、旅費の支出が減少したことが主な理由である。
翌年度は海外で開催される研究集会や勉強会への参加が既に予定されており、次年度使用額は平成31年度請求額と合わせてそのための旅費として使用する予定である。また信州大学で開催予定の研究集会や、継続的に開催している「信州トポロジーセミナー」などで、研究題目に関連の深い研究を行っている研究者を招くためにも使用する予定である。
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