2017 Fiscal Year Research-status Report
１次元と２次元の結び目の類似性と相違性に関する射影図的研究
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16K05147
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
佐藤 進 神戸大学, 理学研究科, 教授 (90345009)
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2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 仮想結び目 / 指数多項式 / 局所変形 / 被覆結び目 / 溶接結び目 / パス変形 / ２次元結び目 / 多重化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の課題は１次元および２次元の結び目の性質を、射影図という観点から明らかにすることである。本年度に行った研究は大きく４つに分けられる。
（１）仮想結び目の基本的な不変量として指数多項式があるが、中西との共同研究で、ふたつの仮想結び目が同じ指数多項式をもつための必要十分条件を与える局所変形（アンクレット変形）を発見した。結び目の研究では不変量などの代数構造と局所変形などの幾何構造の関連を調べることは基本的課題であり、今回仮想結び目で初めてこのような関連を発見したという点で重要な研究である。
（２）仮想結び目の研究において新しい不変量の発見は重要課題である。中村、中西との共同研究で、０以上の各整数nに対して、仮想結び目のn被覆結び目という概念を導入することに成功し、その性質の一端を明らかにすることができた。特に任意の仮想結び目の列に対して、それらをn被覆結び目にもつような仮想結び目が存在することを示すことができた。
（３）１次元の結び目のアーフ不変量はパス変形と対応することから、溶接結び目に対するパス変形による同値類を考えることでアーフ不変量の類似物の存在が期待された。しかし中村、中西、安原との共同研究で、任意の溶接結び目はパス変形によってほどけることを示した。これは溶接結び目に対してはアーフ不変量の拡張は不可能であることを意味しており、１次元の結び目と溶接結び目、さらに２次元の結び目との相違点を与えている。
（４）サテライトの特別な場合として２次元の結び目に対して多重化という概念を導入し、その性質を調べた。特に２次元の結び目がリボン型である場合、それを多重化して得られる結び目は、元の２次元のリボン結び目のバンドの多重化にちょうど対応することがわかった。また同様の構成は１次元の結び目では行えないことから、１次元と２次元の結び目の相違点を与えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本年度は、１次元と２次元の結び目の性質を射影図を通して調べることであった。その結果、研究実績の概要でも記述した通り、１次元の結び目の拡張である仮想結び目、溶接結び目と２次元の結び目の類似性と相違性に関して大きく進展することができた。
仮想結び目に関してはこれまでも指数多項式の性質がいくつか知られていたが、今回はそれを特徴付ける局所変形を発見することができた。さらに仮想交点の指数に着目することによりn被覆結び目という新しい不変量の発見にまでつながり、当初の計画以上の結果を出すことができた。また溶接結び目に関してはパス変形は結び目解消操作ではないだろうとの大方の予想を裏切り、アーフ不変量が１である結び目も含めてすべて解けることを示すことができ、さらにこれを仮想絡み目にまで拡張することができた。この結果はパス変形に対応する２次元のリボン絡み目に対する新しい結び目解消操作の存在を意味している。
理論上２次元の結び目のサテライトを考えることで新しい曲面結び目を構成することができるが、得られた２次元の結び目は複雑でありその性質を調べることは容易ではない。今回多重化という２次元ブレイドを利用した構成に限定することで、得られた曲面結び目の結び目カンドルの性質を射影図を通して調べることができ、その結果からバンドの多重化という発想に至った。さらにこの手法は２次元の結び目独自のものであり１次元の結び目には導入することができないこともわかった。これは当初計画していた１次元と２次元の結び目の相違性を与えるだけでなく、曲面結び目の新しい構成へのアプローチを提供している。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究の進捗状況を踏まえて、今後の研究の方針を次のように考えている。
（１）仮想結び目の指数多項式は絡み目に対しては効果的な拡張がなされていない。これは実交点の指数の定義が絡み目に対しては定義されていないためである。そこで逆に仮想絡み目に対してアンクレット変形による同値類を調べることで、指数多項式を仮想絡み目に対しても導入できないかを調べる。
（２）仮想結び目のn被覆は指数多項式とは独立な不変量であるが、現時点ではあまり性質がわかっていない。そこで同じn被覆をもつ仮想結び目を局所変形の立場から研究する。
（３）仮想結び目では交差交換すら結び目解消操作ではないが、溶接結び目ではかなり広い範囲の局所変形が結び目解消操作になることが今回の結果を元にすると期待できる。さらにこれらは２次元の結び目の結び目解消操作を与えることにもつながるので、パス変形以外にも溶接結び目の結び目解消操作がないかを調べる。
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| Causes of Carryover |
当初計画していたよりも安く海外書籍が購入できた。今年度の書籍購入に充てる計画である。
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