2019 Fiscal Year Annual Research Report
Diagrammatic research on similarity and difference between 1- and 2-dimensional knots
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16K05147
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
佐藤 進 神戸大学, 理学研究科, 教授 (90345009)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 曲面結び目 / 射影図 / 仮想結び目 / 溶接結び目 / 不変量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の課題は１次元および２次元の結び目の性質を、射影図という観点から明らかにすることであった。研究の成果はおおきく？つに分けられる。
（１）n彩色可能な結び目のnパレット数について、これまで具体的なnについての研究結果しか得られていなかったが、この研究で、トーラス結び目および２橋結び目という重要なクラスについて、一般のnの場合にnパレット数を決定することができた。
（２）１次元のタングルの概念を２次元に上げたリボン曲面タングルを研究することで、曲面結び目のダブルを定義することができる。このことは曲面結び目のカンドルの研究が、リボン曲面結び目に限定して行えることを意味している。
（３）リボン曲面結び目に関連する仮想結び目について、その基本的な不変量のひとつであるねじれ多項式をシェル変形とよばれる局所変形で特徴付けることができた。また逆に２成分仮想絡み目のシェル変形に対応する不変量を決定することに成功した。さらに仮想結び目のn重被覆とよばれる概念を導入し、その性質の一端を明らかにした。
（４）１次元結び目のアーフ不変量はパス変形によって特徴付けられるが、その一般化である溶接結び目はパス変形によって自明になることを示した。このことは溶接結び目に対してはアーフ不変量は拡張されないことを意味している。
（５）曲面結び目の射影図の核となる、２重点集合を三叉コードをもつガウス図式で表示する手法を構築した。これを用いると２階層集合のガウス図式を復元することができる。特に２次元結び目の場合、２階層集合の平面性を導入することで、その２重点集合がみたすべき必要条件を得ることができた。
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