2016 Fiscal Year Research-status Report
３次元多様体の基本群が許容する不変順序に関する研究
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16K05149
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
寺垣内 政一 広島大学, 教育学研究科, 教授 (80236984)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 不変順序 / 共役ねじれ元 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
３次元多様体の基本群の多くは，両側不変順序を許容しない．順序群の研究において，両側不変順序を許容しない群は，共役ねじれ元をもつと予想されていた．残念ながらこの予想に対しては，1970年代に反例が見つかったが，それらは３次元多様体の基本群ではない．いわば，３次元多様体の基本群のような素性の良い群については，上記の予想は成立すると予想する．
本年度の研究では，この予想を代表的な３次元多様体の族であるザイフェルト多様体と可解多様体に対して肯定的に解決した．３次元多様体の許容する幾何構造は８種類しかないことが知られているが，これにより７つの幾何構造に対して予想が解決されたことになる．残る双曲多様体の場合がもっとも難しいことはいうまでもないのだが，８の字結び目の巡回分岐被覆空間すべてや，レーブレス葉層構造を許容しないことで知られる双曲３次元多様体の無限族など，双曲３次元多様体のこれら無限列に対しても予想の肯定的確認を行うことができた．この結果は，日本大学の茂手木公彦氏との共著論文として執筆し，すでに国際学術雑誌に受理されている．また，イギリスのケンブリッジ大学で開催された３次元多様体に関する国際ワークショップにおいて，研究代表者が成果発表を行った．
また，結び目外部空間のスロープの定める正規部分群について，いつそれらが一致するか，それらの交わりの分析，包含関係の分析を行った．特に，そのような正規部分群がいつ一致するのかといういわゆるマグナス問題に対して，完全解決を得ることができた．この成果については現在，論文にまとめているところである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
年度の早い段階で成果が得られたため，その結果を論文にまとめ，国際学術雑誌に受理されている．また，ケンブリッジ大学で開催された国際ワークショップにおいて成果発表をするに至った．さらに次年度以降に向けて，着々と成果が蓄積されつつあることから，順調に進展していると判断できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
結び目外部空間のスロープの定める正規部分群を調べる必要性は，研究計画に述べた共役ねじれ元の継承あるいは生成という観点から生じている．上述のように，スロープの定める正規部分群の構造分析については一応の結論を得たので，本来の目的である共役ねじれ元の研究に移行する．
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