2016 Fiscal Year Research-status Report
多重線形写像の実射影空間への像とテンソル階数への応用
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16K05151
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
角 俊雄 九州大学, 基幹教育院, 准教授 (50258513)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | テンソル / ランク / 多重線形写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
テンソルとは高次元配列のことで，２次元配列は行列とみなせる．テンソルのランクとは，ランク１テンソルの和として表されるテンソルの最小個数のことである．ランクは計算の複雑度を測る道具として考えられた．行列においては特異値分解に対応し，行列の理論があるため，２次元テンソルのランク１テンソルの和への分解，および，ランクについてはよく知られている．３次元以上のテンソルのランク１テンソルの和への分解や，テンソルのランク１テンソルの和への近似分解は，最近，シグナルプロセッシング，データマイニング，コンピュータビジョン，グラフ解析など様々な分野で応用が見られるようになった．応用面からすると，ランクより典型ランクが重要視されると思われる．
２次元の時と違い，３次元以上のテンソルのランクの計算は非常に難しいことが知られている．そのため，まずは３次元テンソルのランクについて考察を行っている．具体的には，３次元テンソルを２次元テンソル（行列）の集まりとみなし，それらで生成されるベクトル空間が，ランク１の行列達を基底にもつのか，あるランク１の行列を追加して拡張したベクトル空間が，ランク１の行列達を基底にもつのかを考察した．
また，ランクがｒのテンソルの集合がテンソル全体の集合のなかでユークリッド開集合を含むような，数ｒの条件について研究を進めている．主に，実数体上のテンソルのランクについて考察しているが，基礎体を変えたときへの対応も考慮している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
いくつかは結果が得られており，その一部については，ワークショップにて講演を行った．３次元テンソルを行列の集合とみなしたとき，それらの行列で生成されるベクトル空間が，ランク１の行列達を基底にもつかどうか考察し，具体的なテンソルの近傍で持たない例を統一的に無数構成した．
同変部分空間としての考察については，特に，ランク１の行列の選択方法を中心に行ったが，現在のところよい結果が得られていない．しかし，手ごたえはあるので続けて考察をしていきたい．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまで，３次元テンソルを行列の集合とみなしたとき，それらの行列で生成されるベクトル空間が，ランク１の行列達を基底にもつ／もたないの判定について考察を行ったが，さらに進めて，ランク１の行列達を基底にもたない場合，いくつランク１の行列を付け加えるとランク１の行列達を基底にもつようになるのかの考察を行う．
ランク１テンソルの集合と，最小典型ランクのテンソルの集合との位置関係に注目した手法の開発をし，小さな型でまだ未解決である最大ランクや典型ランクを決定できるようにしたい．さらに、典型ランクが高々２つであろうかという問題の解決に向けて，最小典型ランクや最大典型ランクの評価を多重線形写像を用いて考察する．
また，典型ランクをもつテンソルの集合をみることで，最大ランクの上からの評価が得られるのでないかと期待している．
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| Causes of Carryover |
海外渡航として予算措置していた金額が、海外渡航を取りやめたために残った。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
旅費、およびiPad pro の購入費用に充てる
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