2018 Fiscal Year Annual Research Report
The image by multilinear map to the real projective space and an application to the rank of tensors
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16K05151
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
角 俊雄 九州大学, 基幹教育院, 教授 (50258513)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | テンソル / ランク / 多重線形写像 / 群作用 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
テンソルとは高次元配列のことで，与えらえたサイズの典型ランクは，そのサイズのテンソルの集合のテンソルのランクが確率正でおこる場合のランクの集合である．
典型ランクは基礎体に依存し，特に複素数体上であれば一意的に定まることが知られている．実数体上では，複素数体上の典型ランクが実数体上の典型ランクの最小数を与える．最小典型ランクは，ランク１テンソルのランクの個数の和をあらわす多重線形写像のヤコビアンに関係する．ほとんどの場合，定義域と値域の次元から求められるある数であるが，そうでない場合が存在しない場合について考察を行った．
現在知られている典型ランクについては数少ないが，そのときは，最大典型ランクは最小典型ランク＋１以下となっている．典型ランクに関する多重線形写像のヤコビアンは全射であるので，定義域の次元が値域の次元以上が必要となる．しかし，Borsuk-Ulamの定理が代表するように，表現空間間の等変写像については，定義域の次元が値域の次元以下であることが期待されている．この問題に関して，いくつかの有限単純群について正しいことを示した．
その後，多重線形写像の固定部分群や最大典型ランクの上からの評価への関係について検討した．特に，ゼロテンソルの近傍のみ検討すれば十分なので，最大典型ランクは最小典型ランクの2倍で抑えられることが，テンソルによる平行移動により示されている．この方法を拡張し，最小典型ランク以下のテンソル全体が埋めきれない穴について，ランク１のテンソルは最小典型ランク以下のテンソルの境界にあるが、それによる平行移動により，すべての穴が閉包の意味で埋められるかを検討した．
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