2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K05152
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
枡田 幹也 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00143371)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | トーリック幾何 / コホモロジー剛性問題 / Hessenberg variety / 凸多面体 / 双曲多様体 / トーリックトポロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
次の研究を行った．
（１）阿部拓，堀口達也の両氏とregular semisimple Hessenberg variety のコホモロジー環の環構造を，Hessenberg関数が h=(h(1),n,…n)の場合に，生成元とイデアルを与えて具体的に記述した．ここでh(1)は，2とnの間にある任意の自然数である．これまで環構造が具体的に知られていたregular semisimple Hessenberg varietyは，旗多様体とpermutohedral variety以外にはなく，我々の結果は，Hessenberg関数hは特別ではあるが，これまでの結果を一歩踏み出した新しい結果である．
（２）蓮井翔，鍬田英也，Seonjeong Park氏と，n-cubeの頂点をカットして得られる単純凸多面体上のトーリック多様体を，代数多様体，微分多様体の両方の観点から分類した．ｎ=3 のとき，この族のトーリック多様体には，非射影的なトーリック多様体として有名なOda’s 3-foldがあり，それが研究の動機付けとなった．その結果，nが3以上において，Oda’s 3-fold のn次元版があり（非射影的），これが射影的なトーリック多様体と微分同相となることが判明した．非射影的な代数多様体と射影的な代数多様体が微分同相になる例は知られているが，トーリック多様体の範疇でそのような例は知られていなかったように思う．
（３）原田芽ぐみ，堀口達也，Seonjeong Park氏と，regular semisimple Hessenberg varietyの体積多項式とGelfand-Zetlin多面体との関係を調べた．特にregular semisimple Hessenberg variety の重要な例である permutohedral varietyの場合に，これらの関係を詳しく調べた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
（１）の結果は前年度からの研究の続きで，ある程度予想されたものであるが，（２）の結果は予想外であった．一般に，凸多面体上のトーリック多様体を分類することは大変難しいが，我々が取り扱ったn-cubeの頂点をカットして得られる単純凸多面体vc(I^n)の場合は，これまでの研究結果が綺麗に応用でき，ほぼ完全な分類を得ることができた．（３）の結果は，幾何と凸多面体の組合せ論が関連する話題であるが，幾何的な考察から置換多面体の綺麗なn-cube分割が得られるという予期しない結果が得られた．
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| Strategy for Future Research Activity |
旗多様体において，トーラス軌道の閉包はトーリック多様体となるが，どのようなトーリック多様体がこのようにして得られるかという問題が，上記の（３）の研究から自然に生れた．現在Eunjeong Lee氏とこの方面の研究を始めており，興味ある研究結果を得つつある．この研究を推し進めようと考えている．
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| Causes of Carryover |
平成２８年度から２９年度にかけて予想外に研究が進展し，計画になかった招へいをする必要が生じた．そのため，平成３０年度の予定研究費から３０万円を平成２９年度に繰り上げたが，幾分見込み違いから５万円程の余りが出た．この分は，次年度の図書費に充てる予定である．
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