2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K05153
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
秋吉 宏尚 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (80397611)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 双曲幾何 / 錐多様体 / 基本領域 / 負曲率幾何 / 離散群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題は２元生成自由群のPSL(2,C)表現のうち，生成元の交換子積の像が楕円的であるようなものを，錐双曲構造を手がかりとして解明することを目指すものであり，そのために，(a) 必要となる３次元錐双曲多様体に関する基礎理論の整備，(b) ２元生成群に関わる研究としてJorgensen理論とそのRiley sliceへの拡張を錐多様体に拡張および応用するという方針で進めていく計画である．
(a)に関しては，昨年度の研究成果において考察された，錐角が2π未満の錐双曲多様体のコンパクト閉凸核に対する定理ついて，錐角がπ未満の錐双曲構造に対してMoroianu-Schlenkerにより整備された一般的理論の一部を「錐角がπ以下の錐双曲構造」へと拡張し，定理が対象とする錐双曲構造の条件を自然な内在的な性質により記述することに成功した．この考察を通してそのような構造に関するコンパクト閉凸核の概念を導入した．これまでの考察と組み合わせることにより，錐角がπ以下のコンパクト閉凸核を持つ錐双曲構造に関してはFord領域およびDirichlet領域のある種の有限性が示された．
(b)について，オリジナルのJorgensen理論において例外的な組み合わせ構造の退化が生じうる「薄い表現」のなす空間を錐双曲構造における拡張を考察し，その空間においては(a)の意味でのコンパクト閉凸核を具体的に記述することに成功した．さらに，この空間ではFord領域の組み合わせ構造から定義されるside parameter，および，閉凸核の境界として現れる錐双曲面の双曲構造という２種類の異なる大域的パラメータが存在することを示した．特に，後者のパラメータはLecuire-Schlenkerにより提起されたコンパクト閉凸核境界の双曲構造に関する問題が肯定的に解決できる具体例を与えることになる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究の方針として据えている，(a) 一般的な理論の整備，および，(b) ２元生成群に関する研究（特にJorgensen理論の拡張）ともに順調に進展している．
(a)については，Moroianu-Schlenkerにより整備された一般的理論の一部を拡張することにより「錐角がπ以下の錐双曲構造」に対してコンパクト閉凸核の概念を自然な内在的性質として導入することに成功した．これはクライン群論における擬フックス構造の自然な一般化であり，２元生成群に付随する錐双曲構造に自然に定まる対称性を勘案すると，(b)の研究においてFord/Dirichlet領域を特徴付けるべき構造の正確な定義を与えることができたことになる．
(b)について，まず，薄い錐双曲構造全体からなる空間において，Ford領域，錐特異点集合上に中心を持つDirichlet領域およびコンパクト閉凸核を決定することに成功した．これは前年度に得られたフックス表現に対応する構造を超えて，本質的に３次元的な構造へとJorgensen理論を初めて拡張できた例となる．この空間はFord領域の例外的な退化が起こりうる構造を全て含んでいることが期待されることから，理論の拡張のための重要な前進をすることができた． また，(a)に関して行なった考察は，オリジナルのJorgensen理論およびそのRiley sliceへの拡張で重要な役割を演じたcommensurableな軌道面からなるFricke図式が錐双曲構造への拡張においても本質的な役割を演ずることを強く示唆しており，今後の研究方針を決定するための重要な指針を与えている．
２０１８年１月に開催した研究集会「錐多様体と基本領域」および二度の海外出張を含む研究発表・打ち合わせを通して，本研究課題の現在の進捗状況，方針の確認，および他の研究対象への応用の可能性に関して重要な示唆を得ることができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
当初の研究計画通り，(a) 一般的な基礎理論の整備，および，(b) ２元生成群に関する研究（特にJorgensen理論の拡張）の二本立ての研究を進めていく．
(a)に関しては今年度までに得られたMoroianu- Schlenkerの理論の拡張を進め，コンパクト閉凸核と理想境界の等角構造との関連の解明を目指した研究を行う．特に，コンパクト閉凸核を持つ錐双曲構造に関し，そのFord/Dirichlet領域が構造の微小変形の下で組み合わせ構造の有限性を持つことを確認する．また，(b)の研究でも重要な役割を担うと予想される，「錐双曲構造に対するShimizu-Leutbecher型の性質」の解明を目指して研究を進めていく．
(b)に関して，これまでの研究でFord/Dirichlet領域が特徴付けられるべき錐双曲構造の空間が明確になった．今年度は，錐特異点を一点だけ持つトーラスとcommensurableな，錐特異点を４点だけ持つ球面の錐双曲構造に対して適用されるSchlenkerらの理論を，Fricke図式を用いて錐特異点つきトーラスへと応用することで，コンパクト閉凸核を持つ錐双曲構造の空間の大域的パラメータを導入し，(a)で得られる基礎理論と組み合わせることで，目指すJorgensen理論の拡張を成し遂げる方針である．また，フックス表現および薄い表現に付随する錐双曲構造に対して特徴付けられたコンパクト閉凸核を，一般の擬フックス的錐双曲構造に対しても特徴付けたい．この研究には，研究代表者と作間誠氏により予想され，Gueritaudにより証明された，穴あきトーラス擬フックス多様体に対するEPH分割と閉凸核との対応が重要な役割を担うと期待されるので，カスプ付き双曲多様体の理想多面体分割との対応物を導入し，EPH分割の錐双曲構造への拡張も行なっていく．
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| Remarks |
本研究課題の研究の遂行の一環として行った研究集会の案内のwebページである。
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