2017 Fiscal Year Research-status Report
自由群の自己同型群のねじれ係数高次元コホモロジーの研究
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16K05155
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
佐藤 隆夫 東京理科大学, 理学部第二部数学科, 准教授 (70533256)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 自由群の自己同型群 / Andreadakis予想 / 群のコホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Andreadakis予想と自由群の自己同型群のねじれ係数2次元コホモロジーに関して研究成果がいくつか得られた．
まず，次数3の場合に，自由群のIA自己同型群の降中心列とAndreadakis-Johnsonフィルトレイションが完全に一致することが，一般線型群の作用を考察することにより証明できた．非安定域であるとはいえ，IA自己同型群の降中心列の次数商の次元を上から評価する際に必要となる関係式を計算機に依らずに具体的にリスト化できたことは今後の一般の場合を考える上で非常に有意義だと考えている．
一方，IA自己同型群の各フィルトレイションの次数商に有理数体をテンソルし，有理化したAndreadakis問題の考察も精力的に行ったが，特に非安定域に限定しても手計算では甚だ困難であり劇的な進展は得られなかった．これに関して，ゲッティンゲン大学のBartholdi教授と研究打ち合わせを行い，非安定域における特殊な現象や安定域における予想，及び冪零群の性質を利用した計算機を用いた計算の理論的背景などについての情報交換を行い，今後の研究の方向性に関して有意義な意見をいくつかもいただいた．
また，自由群の自己同型群のねじれ係数高次元コホモロジーの計算については，Pettetによって得られている結果を利用して，いくつかの非自明有理ねじれ係数2次元コホモロジー類が存在することが証明できた．1次元コホモロジーの場合については，これまでの結果により，IA自己同型群のホモロジーのGL分解に現れる既約成分を係数とするコホモロジーは非自明であり，その次元は既約成分の重複度に等しいということが分かっているが，これと同様のことが，1次元コホモロジー群のカップ積の像として表せるような既約成分に関して成り立つことが分かった．現在はOuter spaceを用いた手法で上からの評価を与えられないか計算中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一般に，自由群の自己同型群は，曲面の写像類群と比較研究の対象にされるが，本研究は組合せ群論やホモロジー代数といった，代数的手法をベースにしており，これが本研究の最大の特徴でもあるが，写像類群の研究で培われた手法を直ちに適用できず，あらゆる研究が実験的な手計算に依らざるを得ない．これは大変膨大なものであり，多くの場合完遂することが難しい．また，計算の過程でも結果を予測するが困難である場合が多い．
このような中で，次数3部分とはいえ，Andreadakis予想が肯定的に解決できたことは大変喜ばしい．これは，「安定域ではAndreadakis予想は正しいのではないか」という多くの研究者たちの予想を裏付けることでもあり，今後の研究の進展が期待できる．
また，非自明なねじれ係数2次元コホモロジー類の構成については，そのすべてが非安定域におけるコホモロジー類である．現在，自由群の自己同型群のねじれ係数コホモロジーについては，非安定域どころか安定域についても計算例が殆どなく，これから多くの研究者が参入してくるのではないかとということを考えると，大きな意義があるものと考えている．よって，研究はおおむね順調に進んでいると考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
自由群の自己同型群のAndreadakis予想に関しては，昨年の11月末に，リール大学の学生であるJacques Darne氏により大きな進展があった．具体的には，自由群のIA自己同型群の降中心列の次数商から，Andreadakis-Johnsonフィルトレイションの次数商への自然な写像が，安定的に全射になるというものである．これが常に同型ならAndreadakis予想は安定域では正しいということになり，この意味でDarne氏は予想の半分を解決したことになる．Andreadakis予想に関しては，ドイツやフランスの大学や研究所で開催された研究集会を通して多くの専門家たちが興味を示していることが明らかであり，言い換えれば，この問題を解決した時のインパクトは大変大きいと考えられる．Darne氏の結果をもとに，次数3の場合に用いた組み合わせ群論的手法を一般の安定域に拡張できないか，粘り強く計算に取り組みたいと考えている．
一方，自由群の自己同型群のねじれ係数コホモロジー群に関しては，非自明な2次元コホモロジー類をdetectした手法と同様の手法を用いることで，さらに高次元のコホモロジー群に対しても同様の結果が得られるのではないかと推測される．計算量は膨大になるが，ぜひ取り組みたいと考えている．さらに，そのような非自明なコホモロジー類が存在するコホモロジー群を完全に決定するためにOuter spaceを利用して，ある種の上からの評価が与えられないか研究を進めたいと考えている．
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| Causes of Carryover |
今年度は，東京理科大学の在外研究制度，並びにマックスプランク数学研究所の客員研究員制度を利用して，ボン大学数学研究所に7か月間ほど滞在する機会に恵まれた．欧州での長期滞在は滅多に実現できないので，これを機に欧州各地の大学や研究所に研究発表並びに，研究打ち合わせを行った．当初の予定では旅費及び滞在費にもう少し使用する予定であったが，先方が厚意で負担を申し出て下さったこともあり，使用額が当初の計画より抑制された．既に，次年度の海外出張の予定も入っており，残額は次年度の旅費及び滞在費などに充当したいと考えている．
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Research Products
(5 results)
