2018 Fiscal Year Research-status Report
自由群の自己同型群のねじれ係数高次元コホモロジーの研究
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16K05155
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
佐藤 隆夫 東京理科大学, 理学部第二部数学科, 准教授 (70533256)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 自由群の自己同型群 / Outer space / 群のホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，まず，Bradyによる先行研究（自由群の外部自己同型群の整係数ホモロジー群の計算）の手法を踏襲して，Outer spaceの幾何を用いる方法により，階数が3の場合の自由群の外部自己同型群の有理ねじれ係数ホモロジー群の計算を試みて，いくつかの計算結果を得た．しかしながら，階数が3の場合であっても，複体に現れる単体の数が多すぎて，安直に一般の階数の場合に計算が進むものではないことが良く分かってきた．さらに，この状況は，ホモロジー群の次元を1, 2次元に限っても劇的に改善しそうもないことも分かった．
そこで，自由群の自己同型群の2次元ねじれ係数ホモロジーの計算として，以前に，自由群のアーベル化を係数として計算した際に用いた代数的手法を一般化できないか，再度検討することとした．これは，自由群の自己同型群の群の表示と，ホモロジー5項完全系列を用いるもので，与えられた係数に対して，自由群の自己同型群の1次元コホモロジーを計算して，関係子たちの間の関係を緻密に整理していくという，忍耐強い計算力と鋭い計算のセンスが求められる，いくつかのステップに分けられる．現在，2次元ホモロジー群の係数として，IA自己同型群の1次元コホモロジー群のカップ積の像の，GL既約分解に現れるような加群を中心に，ホモロジー群の計算を進めており，1次元のホモロジー群についてはほぼ計算が終わり，安定的に自明であることが示され，さらに，その安定域も得られた．今後は，自由群の自己同型群の，関係子たちのなす加群への作用の様子を明らかにしていきたいと考えている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Outer spaceを用いた計算では，階数が3の場合には計算が実行できたが，一般の階数の場合の計算がすぐに実行できる状況ではないことも分かった．しかしながら，計算を実行する際にどの部分が困難になるのかを明確に把握できたこと，並びに，階数4，5くらいの場合には，かなり計算が煩雑になることが予想されるが，不可能ではないようなことも分かったことはそれなりの収穫であった．今後，コンピュータによる計算などの技術的問題が克服される見通しが立つようなことがあれば，是非挑戦したいと考えている．
また，群の表示と5項完全系列を用いた計算では，まだ計算の途中ではあるが，IA自己同型群の1次元コホモロジー群のカップ積の像の，GL既約分解に現れるような加群を係数とした場合に，自由群の自己同型群の1次元のホモロジー群が自明であることが計算できた．正確にはより一般的な加群に対して同様の結果が得られた．これは，以前に論文として出版した結果の内容を大きく凌駕するものであり，たいへん嬉しく思っている．
このような状況から，当初の予想以上の進展とはいかないまでも，概ね順調に研究を進められていると考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは，現在研究が進展している，代数的手法による自由群の自己同型群のねじれ係数2次元ホモロジーの計算を進められるだけ進める．過去に，自由群のアーベル化を係数にして計算を行った先例があるので，それを踏襲しながら，一般の係数に一般化できるかどうか慎重に計算を進めたいと考えている．
Outer spaceを用いた計算では，これまでに行った階数が3の場合の計算を踏襲して，階数が4の場合で実行したいと考えている．階数が4の場合には，森田類と呼ばれる非安定ホモロジー類が存在することが知られており，それとねじれ係数コホモロジー類との関係について詳しく研究する価値は十分にあると考えられる．
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| Causes of Carryover |
2017年度に7か月間ほどドイツ滞在し，EU内のいくつかの研究所，大学等に研究発表に行ったが，数回，先方が旅費の負担を申し出て下さったことなどにより，研究費に余裕が生じたこと．一方で，2019年度に，本研究課題に大きくかかわる研究集会が東京で開催される予定であり，本研究に深く関連する研究を行っている研究者を招聘して，最新の研究成果や専門的知識に関する情報交換を行うために使用する予定である．
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