低次元多様体内の閉曲面の対称性と写像類群の研究

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 16K05156
• Research Institution: Tokyo University of Science
• Principal Investigator: 廣瀬 進 東京理科大学, 理工学部数学科, 教授 (10264144)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 低次元トポロジー / 写像類群 / リーマン面 / 結び目 / 曲面結び目 / 周期的写像 / 擬アノソフ同相写像 / 分岐被覆空間

Outline of Annual Research Achievements

写像類群と結び目に関して主として次の研究を行った：
１）3次元多様体の2重分岐被覆として現れる曲面束のモノドロミーに関する研究（金英子氏（大阪大学）との共同研究）：作間誠氏（大阪市立大学）により、任意の向き付け可能な3次元多様体に対して、その2重分岐被覆として円周上の曲面束が現れることが示されている．この曲面束のモノドロミーとしてどのような写像が現れるかを考察することは非常に興味深い問題である．以前、金英子氏との共同研究により、3次元球面上の2重分岐被覆として現れる曲面束のモノドロミーとして拡大度の小さな擬アノソフ写像の系列が得られることが示されたが、今年度は円周と2次元球面の直積の連結和になっている場合や3次元実射影平面とそれと類似したレンズ空間の族についても、同様の現象が起こることを示した。さらに、小林毅氏（奈良女子大学）らによる組みひもが擬アノソフになる十分条件に関する考察を基に、双曲構造を持つ3次元多様体のある無限族に対しても、同様の結果が得られることを示した。
２）点付き球面上の弧を用いた4次元球面内の閉曲面の表示についての研究（城川樹生氏（東京理科大学）、大森源城氏（東京理科大学）との共同研究）：4次元球面内の閉曲面の表示としては、その超平面による切り口を用いたモーション・ピクチャー・メソッドが古来より利用されてきた。今年度の研究では、ここで現れるバンドを2次元球面上のねじりのないバンドに改変することにより、それらのバンドのコアとなっている点付き2次元球面内の弧による閉曲面の表示を得るとともに、閉曲面の結び目型を変えない表示の変形について考察した。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

以下の理由より，研究はやや遅れていると判断した．
１）コロナの影響により出張を行うことができず、研究打ち合わせにより研究を進展させることや、研究集会に出て研究成果の発表を行い最新の情報を得ることが難しくなったため． また、得られた研究結果を論文などの形でまとめるための十分な時間を確保することができなかったため。
２）リーマン面上の有限群作用とそのデーンツイスト表示について，種数３，４の場合の結果を明解な形でまとめることができなかった。さらに、種数5の有向閉曲面上の有限群作用について極大なもののリストを作る計画については、ほとんど進展を見ることができなかったため。
３）3 次元多様体の分岐的virtual fibrationのモノドロミーの研究については、レンズ空間などの基本的な3次元多様体について、更には、ある種の双曲的な3次元多様体について進展が見られた一方で、より一般的な場合の考察を十分に進めることができなかったため。

Strategy for Future Research Activity

今年度の研究で得られた知見を元に，位相幾何学的な観点からの写像類群や結び目等の研究を引き続き行う．具体的には例えば以下の研究を行う．
１）閉曲面上の有限群作用の研究：閉曲面上の有限群作用に関する Breuer のアルゴリズムを用いて種数５の有向閉曲面上の有限群作用の中で極大なもののリストを作成するとともに，種数５の有向閉曲面上の周期的写像のデーンツイスト表示についてさらなる検討を加え，これらのデーンツイスト表示を求めることにより研究を推進する．
２）3 次元多様体の分岐的virtual fibrationのモノドロミーの研究： 今年度得られた3次元球面以外の3次元多様体の2重分岐被覆として現れる曲面束のモノドロミーに関する結果などに検討を加えることで、より一般的な結果を目指す。
３）点付き球面上の弧を用いた4次元球面内の閉曲面の表示についての研究：今年度は、この表示と4次元球面内の閉曲面の不変量との関係についての考察は行われていなかったことから、今後は、不変量との関係や曲面に沿った分岐被覆に関する考察を推進する。

Causes of Carryover

以下の４点から，次年度使用額が生じた．１）今年度予定していた国内や海外出張の計画が，コロナの影響等により取りやめになってしまった事．２）購入を予定していた計算機等について，種々の使用状況を考慮して，次年度まで検討を持ち越したため．３）今年度に行う研究集会等への研究者の招聘費用を確保していたが，コロナの影響等により旅費が発生しなくなり，実際の支出が少なめになった事．４）今年度得られた知見について研究集会で発表を行い，さらに研究打ち合わせを行う予定がある為に，来年度多くの金額が必要になった事．
次年度の使用計画は次の通りである。１）東京理科大学で行うトポロジーセミナーのため，最先端の研究を行っている研究者を招聘する．２）写像類群や結び目理論を中心とする位相幾何学の諸分野について最新の成果を学び研究成果を発表する為，他大学・研究機関へ出張する．３）写像類群や結び目理論を中心とする位相幾何学の諸分野について研究打ち合わせを行うために，国内外の研究者を招聘する．４）写像類群や結び目理論の研究を進展させる為の最新のソフトウェアーを利用する為の最新の電子計算機を購入する．