2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05157
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| Research Institution | Japan Women's University |
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Principal Investigator |
林 忠一郎 日本女子大学, 理学部, 教授 (20281321)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 自明結び目 / カンドル彩色 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
与えられた結び目の図が自明結び目を表すか否かの判定方法は既に様々なものがあるが、自明結び目である場合に、ほどくための紐の動かし方を明示的に与える直接的な方法はまだ無い。（直接的ではないが、アーク表示を用いると、あらゆる基本変形の組み合わせのうちで、或る有限な範囲をシラミ潰しに調べれば、ほどき方が分かる。）結び目に対して、右分配法則を満たすような演算を持つ或る代数「結び目カンドル」を対応させることができ、結び目カンドルは全ての結び目を完全に区別することが知られている。カンドルの演算は結び目の図の基本変形であるライデマイスター変形に対応しており、カンドルに於ける計算が結び目の動かし方と密接な関係を持つことが期待される。与えられた結び目の図が自明結び目を表すのだが、そのことを知らないという状況を考える。その際に、図が自明結び目を表すことを断定するカンドルの計算方法を見出し、その計算からほどくための紐の動かし方を求めるアルゴリズムの構成が目標である。結び目カンドルは無限カンドルであり、扱いが難しいので、実際には結び目カンドルから有限カンドルへの準同型を考えることが多い。それは有限カンドル彩色と呼ばれ、よく研究されている。有限カンドル彩色は与えられた有限カンドルＱに対して、結び目の図の線の各々にＱの元を対応させる写像で、各交差点に於いて「交差点条件」を満たすものとも解釈される。ここでは、無限カンドルによる彩色も含めて考える。自明結び目の図はどのようなカンドルによるどのような彩色によっても全ての線にＱの同じ元が対応する。逆に、そのような結び目の図は自明結び目を表す。初年度の平成２８年度は自明結び目の交差点が１１個の素な図で、１角形領域を持たず、すぐにはずれる２角形領域も持たないもの全てについて、上記のカンドルを使う方法によって自明結び目であると断定するコンピュータプログラムを作成した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
予定通り交差点が１１個までの自明結び目の図を調べ尽くした。現在、交差点が１２個の場合も上記の「概要」に記した手法が有効かどうか実際にプログラムを実行して確認しようとしているところである。しかし、交差点が１２個の自明結び目の図を網羅する計算に時間がかかっていて、まだとりかかれていない。一方、自明結び目であるか否かの判定のプログラムにはまだ実行速度に余裕があると思われる。それは以下の理由による。交差点が１１個の自明結び目の図の中にはゲーリッツの自明結び目の図があり、それをライデマイスター変形で交差点無しに変形するには一旦交差点を増やすライデマイスター変形を行う必要がある。このゲーリッツの図の２か所のツイストの交差点を１つずつ増やしていっても、やはり自明結び目を表し、さらに、ライデマイスター変形で解くには最初に交差点を増やすライデマイスター変形を適用しなければならない性質は受け継がれる。この方法でゲーリッツの図の拡張によって得られた無限個の「解（ほど）きにくい」自明結び目の図の列が得られる。この結び目の図たちに上記の自明性判定プログラムを実行してみたところ、４０交差点まではどの結び目の図に対しても１秒未満に自明結び目であることを判定する。また、交差点が４００個になっても、判定に５秒もかからないことが分かった。このように、自明性の判定プログラムは速度としては自分で考えていたよりも速く動作しているのではないかと期待している。しかし、判定に比較的時間がかかった自明結び目の図を調べて、それを拡張することによって、さらに計算時間を評価すべきであろう。勿論、計算時間の調査だけでは不十分である。どのような自明結び目の図に対しても正しく自明性を判定できるか否かはまだ分からないので、隙の無いアルゴリズムを構築するために、やはり交差点数の低いところから自明結び目の図を網羅する作業を続けたいと考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成２８年度までに１１交差点までの自明結び目の図の全ての具体例に対し、その図が自明結び目を表すことをカンドルの計算によって判定するアルゴリズムを具体的なコンピュータープログラムとして実現した。そのプログラムはカンドルに於ける演算を実行し、与えられた図がどんなカンドルに対しても自明彩色しか持たないことを判定する。平成２９年度は、１２交差点以上の図に関しても同様の計算を続けると同時に、これまでの計算方法が一般論としてどの程度通用するかの検討を開始する。カンドル演算の公理の３つの条件はライデマイスター変形の３つの変形から由来していることがよく知られている。しかし、全てのライデマイスター変形がカンドル演算の公理の形の計算そのものに対応しているわけではない。例えば、逆演算を用いる計算に対応する場合もある。まずは、ライデマイスター変形がどのような場合にどのようなカンドルの計算に対応しているのかを観察する。すなわち、カンドル彩色は各交差点での交差点条件と呼ばれるカンドル演算に関する方程式を全ての交差点に亘って連立させて得られる連立方程式の解になっているが、ライデマイスター変形がその連立方程式に与える影響の全てのパターンを網羅する。その影響の中には例えば新しい変数の導入も含まれる。平成２９年末までにこの作業を終える。平成３０年からは、まず、平成２９年に網羅した計算パターン全てについて、逆に、計算からライデマイスター変形を逆に導けるかどうかを検討する。次に、コンピューターで調べておいた自明結び目の図の具体例に関するカンドルの計算に基づき、自明結び目の判定のためのカンドルの計算がどのようなライデマイスター変形に対応するのかを考える。その後、一般の場合を考える。自明性の判定と紐の動かし方を求めるアルゴリズムの完成のためには新しい変数の導入をどの程度行えば済むかが鍵となる。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が2,782円生じた。使い切る必要は無いと知らされているので、来年度以降に有効に使いたい。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
現在、大学が理学部向けにMathematicaを購入しているが、平成２９年度の１０月にライセンスが切れ、大学での購入が途絶える。これは科研費の申請時点では予定外のことであった。私は科研費でのMathematicaの購入を考えているが、１０月の時点で幾らの金額がかかるか確定していないので、次年度使用額はその備えとしたい。
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Research Products
(3 results)
