2018 Fiscal Year Research-status Report
次元論および距離空間の埋蔵問題から考察するcoarse幾何学の研究
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16K05160
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
小山 晃 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40116158)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | coarse幾何学 / 次元論 / 埋蔵 / 局所連結性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度の引き続きcoarse幾何学におけるANR理論を構築する試みを行っている。ANR理論は代数的トポロジーを展開する上でCW複体や位相多様体のように組み合わせ的構造や幾何的構造に依存しない内的特徴付けからよい結果が得られるので、coarse幾何学で同様な理論が展開できればよいと考えた。有限次元ANRの特徴付けはそのホモトピー的局所連結性を用いて行われる。しかしcoarse幾何学ではホモトピー理論を展開することは難しいので、組み合わせ的性質を利用したホモロジー論を用いた局所連結性から糸口を見いだそうと考えた。そこで従来のsmallサイズの位相幾何学におけるものも含め先行研究に当たってみたが、必ずしも十分な結果が得られていない。このテーマに関連してVesko Valov教授（Nipissing University、Canada)と共同研究を行った。これまでに局所的にホモロジー群が縮約するという性質からホモロジーレトラクトという概念を導入してホモロジーANRを定義した。
従来のANRとはどのくらいの差異を研究している。ホモロジー的に局所単連結になる分解空間の特徴付けを解明することがキーポイントであることがわかってきた。その段階で分解空間のホモロジー論として何が適切か、という課題に直面しSteenrodホモロジー群を採用することにした。現在、ｎ次元コンパクト距離空間をｎ＋１次元コンパクトANR へ埋蔵する児玉の方法をから「よい性質をもつ分解空間」を構成し、Steenrodホモロジー群による局所連結性を計算している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
V. Valov教授との共著論文：
On homologically locally connected spaces. Topology Appl. 260 (2019), 57-69.
が出版された。また、昨年度の進捗状況で報告した共同研究の成果：
Homological properties of decomposition spaces
を九州大学IMIオーディとリアムで行われた「Building-up Differentiable Homotopy Theory」（２０１９年３月４日から７日）で講演を行った。これを元にして論文を執筆する予定でいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
（１）分解空間のホモロジー局所連結性の特徴付けの成果をまとめるあげることを目標に挙げる。同時にcoarse幾何学に有効なANR理論の導入を中心課題の一つとして挙げる。
（２）新たな研究方法の導入：coarse幾何学に力学系理論の研究を取り入れるために、shape理論へConley指数の考え方を導入し先駆的な役割を果たしたJose M.R. Sanjurjo教授（Universidad Complutense de Madrid, Spain）を招聘し、集中講義を行う。
（３）研究成果の発表：Conference on Geometric Topology and its Applications (Mazatlan, Mexico, December 9-12, 2019)に出席して、これまでの成果を発表するとともに最新の話題、進捗状況の調査を行う。
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| Causes of Carryover |
新たな研究方法を導入するために先進的な研究を行っている国外の研究者を招聘する予定であったが、人選を含め次年度にずれ込んだため。
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