2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05163
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| Research Institution | Kindai University |
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Principal Investigator |
池田 徹 近畿大学, 理工学部, 教授 (00325408)
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2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 空間グラフ / 対称性 / デーン手術 / ３次元多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
抽象グラフの自己同型群の有限部分群が３次元球面上に滑らかに作用するとき，その作用のもとで集合として不変な空間埋め込みが存在するかという，抽象グラフの対称性の実現問題の解決を目指して研究を行っている。特に，先行研究では抽象グラフや有限群のタイプに依存した空間埋め込みの構成的議論が中心であったが，本研究課題ではデーン手術理論を用いて汎用性の高い新たな解決方法を構築することを目標としている。そのための基礎理論として，３次元多様体上の有限群作用に対する３次元球面内の手術記述（3次元球面上の作用で集合として不変な枠付き絡み目）の存在を調べる必要がある。
２０１６年度は，３次元多様体上の向きを反転する滑らかな周期写像の手術記述について調べた。まず，このような周期写像に対して，係数が整数あるいは半整数の同変デーン手術によって，特異点集合を高々一つの連結閉曲面と有限個の孤立点の和集合に単純化できることを示した。さらに，このように特異点集合が単純化されたケースに対して，その特異点集合が曲面を含まないか向きづけ可能分離曲面を含む場合には，３次元球面内の整数係数手術記述が存在することがわかった。また，３次元球面内に手術記述が存在しない場合を詳細に調べるため，２次元球面上の円周束や，３次元トーラス内において手術記述が存在するための条件を明らかにした。
また，研究を進める過程で，３次元多様体内の空間グラフの対称性が閉曲面を不動点集合とする滑らかな周期写像によって記述される場合を，具体例によって確認する必要が生じた。このため，３次元球面内の空間グラフの外部空間にこのような周期写像が存在するための，閉曲面の種数と空間グラフのオイラー標数との関係に基づく条件を明らかにした。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
３次元多様体上の向きを反転する滑らかな周期写像に対する３次元球面内の手術記述について研究し，一定の成果を挙げた。事前の予想では，３次元球面内の手術記述の一般的な存在は難しいと考えていたが，本研究成果によって手術記述の存在を判定するための条件が明らかになり，それが不動点集合内の曲面の有無や，その曲面の分離性，写像の周期に依存することが判明した。特に，３次元球面内に手術記述が存在しない場合にも，２次元球面上の円周束内の手術記述の有無，３次元トーラス内の手術記述の有無を定める条件を具体的に示し，これらの違いの原因となる現象を考察することに成功した。予定では向きを反転する二面体群作用についても研究を行うこととなっていたが，本年度の研究によって研究計画の次のステップに移るために必要な現象を考察し，十分な知見を得ることができたといえる。以上の研究成果に加えて，３次元球面内の空間グラフの外部空間上の対称性を調べることによって，３次元多様体上の閉曲面を不動点集合とする滑らかな対合に関する成果も得た。以上の状況を踏まえて，２０１６年度の目標をほぼ達成することができたと考えている。これらの研究成果は学術論文にまとめており，公表に向けて手続きを進めている。
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| Strategy for Future Research Activity |
３次元多様体上の向きを反転する有限群作用の手術記述の研究については，有限巡回群作用の場合に得られた知見に基づいて二面体群等の他の有限群作用の研究への展開をはかる。また，２０１６年度の成果と先行研究の結果と合わせることにより，有限群作用の不動点集合が空である場合，向きを保つ巡回群や二面体群の作用である場合，向きを保たない巡回群の作用の場合のそれぞれについて，抽象グラフの対称性の実現問題の研究へ移る準備ができたと考えている。そこでまず，抽象グラフの自己同型群の有限部分群がこれらの群のいずれかに同型であるとき，その対称性を滑らかな群作用のもとで集合として不変な空間埋め込みによって実現できるような３次元多様体の標準的な構成方法を考案することを目指す。そして，この結果にデーン手術を用いて３次元球面への空間埋め込みによる実現問題の解決を目指す。これらの研究成果は，２０１６年度分も含め，国内外のセミナー，研究集会，シンポジウムで随時報告するとともに，学術論文にまとめ，学術雑誌へ投稿し公表する予定である。
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| Causes of Carryover |
２０１６年度の国内出張は計画よりも実施回数を減らしたため，交付決定されていた金額の一部を次年度に使用することとした。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
当初の予定にあった支出計画に加え，国内外での口頭発表や研究調査に関わる研究出張や，関連分野の学外研究者の招聘の計画を充実させて支出する予定である。
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