2018 Fiscal Year Annual Research Report
Symmetries of spatial graphs by 3-manifold topology
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16K05163
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| Research Institution | Kindai University |
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Principal Investigator |
池田 徹 近畿大学, 理工学部, 教授 (00325408)
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2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 空間グラフ / 対称性 / ３次元多様体 / デーン手術 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題は，３次元多様体上の有限群作用の研究をベースに、デーン手術等の３次元多様体論を応用することにより，抽象グラフの対称性と３次元球面への空間埋め込みとの関係を調べることを目標としている。研究期間全体では，以下の３点について研究を行った。特に、最終年度は３点目の研究を中心に行った。
１点目は，３次元多様体内の空間グラフの対称性と不動点曲面との関係に関するものである。３次元球面内の空間グラフが、外部空間内の閉曲面を不動点集合とする滑らかな周期写像のもとで集合として不変となるための条件を明らかにした。研究成果は学術論文として査読付き論文誌へ掲載された。
２点目は，３次元多様体の対称性と枠つき絡み目の対称性との関係に関するものである。３次元多様体上の向きを反転する滑らかな周期写像に対して，同変デーン手術により特異集合を縮小化すれば，３次元球面，２次元球面上の円周束，３次元トーラスのいずれかにおいて手術の記述が存在することを証明した。また、特異集合の縮小化を行わなければ、最大３段階のデーン手術が必要であることを示した。研究成果は論文にまとめ，学術誌へ投稿手続き中である。
３点目は，抽象グラフの対称性の空間埋め込みによる実現に関する問題である。抽象グラフの自己同型群の有限部分群が４次直交群の部分群と同型であるとき，３次元球面上の標準的線型作用のもとで集合として不変な空間埋め込みの存在について調べた。そして，特異集合が３次元球面上の標準的線形作用の特異集合の部分集合とみなせる場合に肯定的に問題を解決した。研究成果は論文にまとめ，学術誌へ投稿手続き中である。
本研究は概ね実施計画どおりに進めることができた。研究目的に比べ部分的に肯定的な解決となったが、問題となる幾何学現象が明確になった。また、抽象グラフの対称性の実現に関しては、先行研究とは全く異なる手法を導入することができた。
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