2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05166
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| Research Institution | Kitami Institute of Technology |
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Principal Investigator |
渡辺 文彦 北見工業大学, 工学部, 准教授 (20274433)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 基本群 / 複素トーラス / テータ因子 / ＨＮＮ拡大 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2次元複素トーラスから正規交叉のテータ因子をN個除いた空間Ｍにおけるツイストホモロジーを構成する際，局所定数層を定める乗法的多価函数の様々な閉曲線に沿った解析接続の情報が必要である．これを調べるためには空間Ｍの基本群の構造を知っておく必要がある．28年度は基本群の構造を，生成元の満たす基本関係式を具体的に書き下すことにより明らかにした．類似の研究としては，複素射影空間から複数の超平面をぬいた空間の基本群がランデルにより調べられている．一方複素トーラスと射影空間，あるいはテータ因子と超平面とを比べると位相的状況が大きく異なっており，空間Mの基本群の研究に対する事実上の先行研究は調べた限り見出されていない．基本群を調べるにあたっては，まずテータ因子を2個だけぬいた空間の基本群の生成元の基本関係を求め，次いで帰納法により一般n個をぬいた空間の基本群の基本関係を求める．2個の場合では空間を適当に4分割しvan Kampenの定理を利用するのであるが，とりわけテータ因子の和の管状近傍の境界の基本群の計算の途中ではいわゆるHNN拡大を用いる場面があり，またMの基本群の基本関係の決定ではテータ因子の和の管状近傍とある特殊は二つの実2次元トーラスとの交叉を考えることで決定が行われる．したがって2個のテータ因子の場合でも基本群の決定では計算上の工夫が要求される．一般n個をぬく場合においても，テータ因子の和の管状近傍とある特殊な二つのトーラスとの交叉を考えることで基本関係が具体的に書き下せる．以上の研究は，渡辺文彦「テータ因子の補集合の基本群」（改訂版2016年12月13日）にまとめられ関係者に配布しレビューを受けている最中である．またこの小文はホームページなどの準備ができ次第一般に公開予定である．また英語による本論文も執筆中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究計画調書にある当初の予定では，いきなりツイストホモロジー類の構成を行なうことになっていたが，指導原理の乏しい計算では構成を完全かつ厳密に行なうのは困難であるとの認識に想到し，ツイストホモロジー類の生息する空間M自体の構造を詳しく把握するという観点に立って，研究計画調書にある当初の予定にはない回り道ではあるが空間Mの基本群の構造を調べた。以上のことから「やや遅れている」との自己評価をした．
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| Strategy for Future Research Activity |
ツイストホモロジー類の計算はこれまでは指導原理に乏しくある意味やみくもに行なってきたところがあった．この問題を解消する過程で考えられたのが基本群の構造決定である．このことが明らかになったおかげで空間Mにホモトピー同値なCW複体を考えられる環境が生まれ，Salvettiによるユークリッド空間から超平面をぬいた補集合に同値なCW複体の構成を参照しながら，現在その候補らしきものを一つ手に入れ，これが実際同値なCW複体かどうかの点検をおこなっている最中である．これがわかればツイストホモロジー類は標準的な手続きで得られると思われる．
また高種数リーマン面上の解析を行なうために，テータ函数論におけるprime formを用いて表示される乗法的函数の構成及び積分表示の解析的性質を調べる．その際種数1の場合で解析を行なった連携研究者の眞野智行の知見が生かされると思われる．
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| Causes of Carryover |
ほぼ当初の予定通りの支出といえるが，購入予定物品のうち当初の予定価格よりも安い価格帯のものがたまたま選択できたため差額100円が発生したと思われる．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
差額が100円であることから，この差額を29年度に充当しても当初の予算額とほとんど変わらないため，基本的には当初の予定通りに使用するつもりである．ただし所属研究機関が29年4月より防衛大学校に変わったことから，研究環境を一から整備する必要があるため研究用図書を当初の予定よりは多めに購入する必要が出てくる可能性がある．旅費については，研究計画調書では出張の出発地は北海道北見市で考えていたが，29年度以降は神奈川県横須賀市であり，おもな出張先は東京以西であることが多いため，旅費の総額は若干圧縮できるのではないかと考えている．
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| Remarks |
平成29年4月1日より所属研究機関が防衛大学校に異動したことから現在webページを準備中であり，準備整い次第本研究課題で得られた作物を公開予定．
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