2017 Fiscal Year Research-status Report
微分可能写像における測度拡大性の特徴付けに関する研究
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16K05167
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| Research Institution | Utsunomiya University |
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Principal Investigator |
酒井 一博 宇都宮大学, 教育学部, 教授 (30205702)
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2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 力学系理論 / 拡大性 / 確率測度 / 測度拡大性 / 双曲性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，測度拡大的の概念を微分可能写像の空間に導入し，拡大性を満たす微分可能写像を測度論的視点から考察するとともに，微分幾何学的力学系理論の立場から特徴付ける。同相写像ではない微分可能写像には，一般に特異点が存在する。特異点の存在を勘案しつつ，測度論との融合という新たな視点から微分可能力学系における Axiom A系の特徴付けを行う。
拡大的微分可能写像の全体をE，正則写像（特異点を持たない微分可能写像）の全体をR(M)で表す。集合E∩R(M)のC~1-位相に関する内点は，研究代表者自身によりAxiom A＋擬横断性条件を満たす力学系として特徴付けされている。R(M)の範躊においては，微分同相写像の場合の研究手法を見直すことで，測度拡大性を満たす微分可能写像に対しても同様な結果が得られることを確認した。また，測度「正拡大性」を満たす微分可能写像の特徴付けについても，非遊走集合が無限個の拡大的周期点と有限個の吸引的周期点から成る力学系は測度正拡大性を満たす微分可能写像の内点に含まれることを確認した。
本年度はこれらの証明手法の一般化，すなわち正則性の条件を取り除いてくプロセスを推進したが，現時点で課題解決に直接結びつく成果は得られていない。正則とは限らない微分可能力学系は，Aoki-Moriyasu-Sumi（Fund. Math.）およびPrzytycki（Studia Math.）で取り扱われており，現在そこで開発された研究手法を詳細に検討中である。尚，本研究との関連では，力学系の擬軌道尾行性に関する最近の成果を取りまとめ，出版（Springer LNM2193）した。局所安定性に係る部分は，本研究で取り組む課題の解決のための技法と共通する点が多々あり，取りまとめプロセスでの整理は今後の本研究の推進において参考となった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
R(M)（正則写像全体の空間）の範躊での測度拡大性を特徴付けは予定通り完了した。しかし，その手法の一般化，すなわち正則性の条件を取り除くプロセスに有効な手段が見つかっていない。Aoki-Moriyasu-Sumi（Fund. Math.）およびPrzytycki（Studia Math.）で開発された研究手法をより詳細に検討し，特に周期点全体の閉包の力学的性質に関する補題の証明法を大幅に改良する必要がある。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究推進における課題は双曲的周期点の集合の閉包の双曲性の証明である。条件 f in int IE の下では，絶対値が１より小である固有値全体が成す固有空間の次元が一致するような周期点全体の個数は一定であることが分かる。より具体的な今後の研究推進方策としては，この事実を用いることで特異点の振る舞いを解析（ある種の局所的構造安定性を証明）し，Aoki-Moriyasu-Sumi及びPrzytyckiで開発された手法，特に周期点全体の閉包の力学的性質に関する補題の証明をより詳細に検討・改良することにより，双曲的周期点の集合の閉包の双曲性を示す。
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| Causes of Carryover |
（次年度使用額が生じた理由）エルゴード論的力学系理論の専門家である鷲見氏（熊本大学）を訪問する予定であったが，宇都宮大学における複数の全学会議（報告者が主催）等のスケジュールや鷲見氏の都合により，熊本出張を取り止めざるを得なかった。
（使用計画）平成30年度は夏季休暇中に熊本大学（鷲見氏）を訪問し，Aoki-Moriyasu-Sumi及びPrzytyckiの研究手法の一般化について研究討論を行うとともに，双曲的周期点の集合の閉包の双曲性ついて研究セミナーを実施し，エルゴード論的力学系理論の視点からも支援を頂き，本研究の課題解決に向け，より一層の活性化を図る。
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