2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05170
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
岡田 靖則 千葉大学, 大学院理学研究科, 教授 (60224028)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | coupling方程式 / 非線形偏微分方程式 / 代数解析 / 関数解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
正規型非線形偏微分方程式の簡単な場合について、対応する coupling 方程式の関数解析および coupling 変換の代数解析を進めるとともに、複素解析的でないものも含めた上述の方程式の 1回連続的微分可能かつ部分正則な解の解析に応用した。
以下に詳しく説明する。2変数単独1階の正規型非線形偏微分方程式に対して、coupling 方程式の初期値問題の一意可解性を関数解析的手法で示すことで、これまで複素領域の方程式しか扱えなかったのを、連続性と空間変数に関する複素解析性は課すものの時間変数について必ずしも複素解析的とは限らないような方程式も扱えるようになった。また coupling 変換の概念を導入し、その合成を議論し、coupling 方程式の合成の概念の導入して対応を付け、さらに coupling 変換の貼り合わせの議論も援用することによって、上述の方程式に対応する coupling 変換の代数解析が可能となった。さらに、上述の方程式に関して、時間変数について 1回連続的微分可能で空間変数について正則であって、方程式に代入可能程度の値の制約を課した関数に対して、これらの coupling 変換を合成し、貼り合わせ、初期面に沿って局所化可能な変換として実現した。以上の議論を経て、coupling 理論による方程式の変換と可逆性を与えることができた。
これらは、現段階では 2変数単独1階方程式に対する議論だが、多変数化、高階化、連立化にも若干の修正で耐え得るものと期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2変数単独1階の正規型非線形偏微分方程式に対する coupling 方程式の関数解析および coupling 変換の代数解析を進めることは、当初の研究計画に沿ったものである。
当初はそれらの多変数化、高階化、連立化、さらに一般にはボレビッチ系への拡張までも目指していて、それらは実現できなかったが、現在得られている議論は、多変数化、高階化、連立化までは若干の修正で耐え得ると期待できる。このことの確認とボレビッチ系への拡張は次年度以降の課題となった。
一方で、上記の議論は、非線形偏微分方程式の問題の解決への寄与という、本課題全体としての目標に向けたものであり、2変数単独1階正規型という制約の下ではあるが、複素解析的とは限らない方程式への応用を与えられたのは、想定以上にうまく進んでいると評価できる。また、正規型の coupling 変換の層の非線形変換としての実現のために、coupling 方程式の一意可解性の部分に戻って多数のパラメータを導入した点、また変換の合成の議論において解の高階導関数に関する不要な制約を外すために、coupling変換の解析接続の方法を導入した点などは、当初は想定していなかった困難に対して新しいアイデアで解決できたことを表している。
これらを総合的に考えると、全体としてはおおむね順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
本来初年度に進めたかった、正規型の coupling 方程式の関数解析および coupling 変換の代数解析の、多変数化、高階化、連立化への対応、さらに一般にはボレビッチ系への拡張は、残された課題として進めていく必要がある。多変数化、高階化、連立化までは、これまでの議論の若干の変更で済むと期待しており、ボレビッチ系への拡張の際にどのような困難を解決する必要があるか調べる。これは、これまで同様に専門家との研究連絡などによって進めていく。
また、当初の予定であった Briot-Bouquet 型偏微分方程式に対する coupling 方程式の関数解析および coupling 変換の代数解析も、上記の課題と並行して研究連絡や資料収集によって進めてゆく。
これも当初の予定であった coupling 変換の表象解析に向けては、上記の研究の進行状況を見ながら、2変数単独1階正規型方程式のいくつかの例の解析から始めていく。
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| Causes of Carryover |
書籍購入や文献複写、それに伴う資料整理を予定していたが、今年度は千葉大学に既にある図書とオンラインのオープンな文献で済み、資料整理を実施しなかったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
来年度、山口大学で関連する研究集会が開催されることが決まるなど、当初の想定よりも成果発表や研究連絡の機会が増えると考えられる。課題となっているボレビッチ系への拡張の進展のためにも、これらの研究連絡の機会増加を有効に利用したい。
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Research Products
(3 results)
