2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K05170
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
岡田 靖則 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (60224028)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | coupling方程式 / 非線形偏微分方程式 / 代数解析 / 関数解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
正規型非線形偏微分方程式の簡単な場合に対応する coupling 方程式の多変数化、連立化、高階化の議論を進めるとともに、Briot-Bouquet 型偏微分方程式で、時間変数について必ずしも複素解析的でないものに対応する coupling 方程式の可解性に関する成果をあげた。
以下に詳しく説明する。昨年度は 2変数単独1階の正規型非線形偏微分方程式に対して、coupling 方程式の初期値問題の一意可解性を関数解析的手法で示しており、これは2変数単独1階に留まらず、多変数化、連立化、高階化にも耐え得るものと期待されていた。連立化、高階化に対応するための議論を進めていくと、包合性の議論と類似性があることや、記法の複雑さはあるものの準線形化によるメリットもあることがわかってきた。
Briot-Bouquet 型偏微分方程式に対応する coupling 方程式については、時間変数について複素解析的でない場合には形式ベキ級数への展開が使えない。しかし、新たに対角埋め込み法という手法を導入することで、2変数単独1階の Briot-Bouquet 型方程式で、時間変数の適切な階数の可微分性のみの仮定の下で、一般の方程式をモデル方程式に変換する coupling 方程式とその反転 coupling 方程式の可解性に関する結果を得た。この成果は、複素解析的な場合のポアンカレ条件と類似だが異なる条件の下での可解性である。
これらに関連して、京都大学数理解析研究所で開催した RIMS共同研究(公開型)「超局所解析と漸近解析」で成果発表や研究協力者の田原氏を含む多くの専門家との研究連絡を行い、また山口で主催者の一人として開催した Algebraic Analysis in Yamaguchi -- D-module, microlocal analysis, summability に研究協力者のシェフケ氏も招いて、研究連絡や成果発表等を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
正規型非線形偏微分方程式の簡単な場合に対応する coupling 方程式の多変数化、連立化、高階化の議論は、昨年度若干遅れていた点を取り戻している。一方、このタイプの coupling に関しては、昨年度、複素解析性を外れた部分で想定以上の成果があったので、総合して当初の計画以上に進んでいると言える。
Briot-Bouquet 型偏微分方程式に対する coupling 方程式の可解性に関する議論を進めることは、当初の研究計画に沿ったものである。当初は、このタイプの coupling に関する関数解析的手法の導入や coupling 変換等も目指していて、それらは実現できていない。しかし、上記の可解性は、時間変数に連続あるいは可微分に依存する場合にも適用できるものであり、2変数単独1階という制約の下ではあるが、複素解析的とは限らない Briot-Bouquet 型偏微分方程式への応用の端緒を付けることができたと言える。また、そのために対角埋め込み法という新たな手法を導入できたことで、今後の進展にも非常に期待がもてる。
これらを鑑みると、非線形偏微分方程式の問題の解決への寄与という、本課題全体としての目標に向けて、想定と同等、あるいはそれ以上にうまく進んでいると評価でき、総合的に考えて、全体としてはおおむね順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
正規型の coupling 方程式の関数解析および coupling 変換の代数解析に関しては、今年度の多変数化、高階化、連立化への議論を進めるとともに、ボレビッチ系への拡張に取りかかる。記法の複雑さといった表面的に見えるがやはり面倒な困難の解決を図る他、ボレビッチ系への拡張に現れるであろう困難さを調査する。これは、これまで同様に専門家との研究連絡などによって進めていく。
Briot-Bouquet 型偏微分方程式に対する coupling 方程式の関数解析および coupling 変換の代数解析も、研究連絡や資料収集によって進めてゆく。一般の coupling 方程式の可解性などを進めていく過程で、対角埋め込み法が可解性の証明の便法なのか coupling をコントロールする存在なのか、見極めていく。
当初の予定であった coupling 変換の表象解析に向けては、上記の研究の進行状況を見ながら、例の解析から始めていく。
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| Causes of Carryover |
書籍購入や文献複写、それに伴う資料整理を予定していたが、今年度は千葉大学に既にある図書とオンラインのオープンな文献で済み、資料整理を実施しなかったため。
来年度、パドヴァ大学でも関連する研究集会が開催されるなど、当初の想定よりも成果発表や研究連絡の機会が増えると考えられるので、これらの研究連絡の機会増加を有効に利用したい。
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Research Products
(2 results)
