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2017 Fiscal Year Research-status Report

量子スピン系の基底状態の研究

Research Project

Project/Area Number 16K05171
Research InstitutionThe University of Tokyo

Principal Investigator

緒方 芳子  東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (80507955)

Project Period (FY) 2016-04-01 – 2019-03-31
Keywords量子スピン系 / 基底状態
Outline of Annual Research Achievements

量子スピン系上の, 並進対称性を持った局所的な相互作用によるハミルトニアンは, 古くから研究されている数理物理学の基本的な対象である. このうち基底状態でスペクトルギャップを持つものは, 物理的には正常相と見ることができる. この正常相全体が, どの様に繋がっている, あるいは繋がっていないのかが, 本研究のテーマである. すなわち, 基底状態でスペクトルギャップを持つハミルトニアンの集合上,「二つのハミルトニアンは, それらが, スペクトルギャップのあるハミルトニアンの連続な路によりつなぐことができれば, 同じクラスに入る」という同値関係によりこの集合を分類したい.これまでに,バルクでの基底状態が一意で, 有限鎖で考えたとき,基底状態の縮退度が鎖の長さによらず上に有界, かつ,フラストレーションフリーと呼ばれる条件を満たすものの分類を行った.この解析のカギとなる点は,このようなハミルトニアンが,MPSハミルトニアンと呼ばれるハミルトニアンと同値であることである.すなわち,上記の性質を満たすハミルトニアンについて,それと同値であるようなMPSハミルトニアンでしかもギャップをもつものを作ることが出来る.これにより,考えるべき分類問題が,スペクトルギャップを持つMPSハミルトニアンの分類問題に帰着する.MPSハミルトニアンは,いくつかの行列の組をもとにしてつくられるハミルトニアンであるが,常にギャップを持つわけではない.これまでに,ギャップを持つような新しいクラスを導入し,それを用いて上記相互作用のクラスの分類を行った.この新しいクラスは,5つの定性的な条件で特徴づけられるある意味自然なクラスとなっている.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

次なるステップは,相互作用についての条件を緩めたクラスの分類を行うことである.はじめにはずしたい条件として基底状態の縮重度が一様に有界であるという条件がある.実際、たとえば(適切な境界条件を定めた)XXZモデルといった量子スピン系のモデルにおいては、基底状態の縮重度は鎖の長さに比例して増大する.このような状況を一般的な枠組みで理解するために,XXZモデルの基底状態の,無限次元ヒルベルト空間上の有界線型作用素の組による表現を得た。これはMPSハミルトニアンのもととなる行列の,無限次元版に対応する.

Strategy for Future Research Activity

引き続き基底状態の縮重度が増大するような,スペクトルギャップのあるハミルトニアンの例を検証していきたい.特に量子群の対称性をもつものについて,XXZと同様の,ヒルベルト空間上の有界線型作用素の組による表現を考えることにより, スペクトル解析を行いたい.そして,その一般化を考えていきたい.
次に,フラストレーションフリーという条件を除く.このためには,並進不変で,MPSでないような純粋状態についての知見を深める必要がある.これまでにいくつかの候補があげられているので,それらを精査していく.

Causes of Carryover

本研究を遂行するにあたり,Nachtergaele氏など海外の専門家との議論を行いたいと考えているが,今年度は実現できなかったため,次年度に行う予定である.

  • Research Products

    (2 results)

All 2017

All Journal Article (1 results) (of which Peer Reviewed: 1 results) Presentation (1 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 1 results)

  • [Journal Article] A class of asymmetric gapped Hamiltonians on quantum spin chains and its characterization III2017

    • Author(s)
      Yoshiko Ogata
    • Journal Title

      Comm. Math. Phys

      Volume: 352 Pages: 1205-1263

    • DOI

      s00220-016-2810-9

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] A class of asymmetric gapped Hamiltonians on quantum spin chains and its characterization III2017

    • Author(s)
      Yoshiko Ogata
    • Organizer
      Operator algebras and Quantum Information Theory
    • Int'l Joint Research / Invited

URL: 

Published: 2018-12-17  

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