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2019 Fiscal Year Research-status Report

凸錐上の調和解析とその応用

Research Project

Project/Area Number 16K05174
Research InstitutionOsaka City University

Principal Investigator

伊師 英之  大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00326068)

Project Period (FY) 2016-04-01 – 2021-03-31
Keywords等質錐 / グラフィカルモデル / コレスキ分解 / 可解リー群 / 余随伴軌道
Outline of Annual Research Achievements

コレスキ分解に関して Fill-in free なスパース行列のもつ良い性質に着目し,実対称行列からなるベクトル空間について「コレスキ構造」および「準コレスキ構造」なる概念を導入した.そして準コレスキ構造をもつベクトル空間において正定値対称行列からなる凸錐については,等質錐と同様の豊穣な解析が成り立つことを示した.これによって等質錐やコーダル・グラフィカルモデルを統一的に扱う自然な枠組みを確立したことになる.とくに頂点の置換に関する対称性でコーダル・グラフを着色した「色付きコーダル・グラフィカルモデル」が準コレスキ構造をもつことを証明できた意義はきわめて大きい.
上記の色付きグラフィカルモデルのうち,完全グラフに対応するものは対称錐およびジョルダン代数の理論を用いて記述できる.このジョルダン代数の記述に有限群の表現論が重要な役割を果たすが,そこで必要となる「表現の分解」が「行列式の因数分解」で代替できることを証明した.この結果を利用して,与えられた多変量データの対称性を探索するモデル選択問題に取り組んだ.これは Piotr Graczyk 教授, Helene Massam 教授, Bartosz Kolodziejek 博士との共同研究である.
等質錐を底とするチューブ領域に単純推移的に作用する可解リー群は,その余随伴作用に関して開軌道をもつ.一般に指数型可解リー群の余随伴軌道と既約ユニタリ表現の間の Kirillov-Bernat 対応において, 表現の解析的性質と余随伴軌道の幾何的性質がどのように関連するかは基本的な問題である.我々は余随伴軌道の一点での固定部分群が正規部分群であるとき,対応する表現の微分表現の核が固定部分群を用いて記述されること,とくに余随伴開軌道に対応する表現の微分表現は忠実であることを示した.これは Ali Baklouti 教授との共同研究である.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

等質錐とコーダル・グラフィカルモデルの統合が本研究のスタート地点であったが,当初考えていた枠組みは,いまから思えばやや人工的なものであった.これが準コレスキ構造という自然な概念に発展したことに大変満足している.とくに色付きコーダル・グラフィカルモデルという統計的に自然なモデルが準コレスキ構造をもつことを証明したことで,これまで一般論がなかった色付きグラフィカルモデルの研究に大きな進展をもたらすことになる意義は非常に大きい.

Strategy for Future Research Activity

準コレスキ構造の理論は対称錐および等質錐の拡張として多くの分野に応用をもつことが期待されるので,調和解析,微分幾何,複素幾何,数理統計,そして凸計画法といった多様な分野の研究者にアクセスしやすいように研究発表し,あるいは個別に討論して,具体的な問題への応用を探索する.とくに色付きコーダル・グラフィカルモデルについては完全グラフの結果を拡張するかたちでモデル選択問題に取り組む.

Causes of Carryover

新型コロナウイルスの影響で,3月に参加を予定していた研究集会が中止になり,そのための旅費89,521円は次年度の研究活動(旅費)に使用することとなった.

  • Research Products

    (7 results)

All 2019

All Journal Article (3 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Peer Reviewed: 3 results) Presentation (3 results) (of which Int'l Joint Research: 3 results,  Invited: 2 results) Funded Workshop (1 results)

  • [Journal Article] Harmonic analysis for 4-dimensional real Frobenius Lie algebras2019

    • Author(s)
      Edi Kurniadi and Hideyuki Ishi
    • Journal Title

      Springer Proceedings in Mathematics and Statistics

      Volume: 290 Pages: 95--109

    • DOI

      10.1007/978-3-030-26562-5_4

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Characterization of the Riesz Exponential Family on homogeneous cones2019

    • Author(s)
      Hideyuki Ishi and Bartosz Kolodziejek
    • Journal Title

      Colloquium Mathematicum

      Volume: 158 Pages: 45--57

    • DOI

      10.4064/cm7548-9-2018

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Wishart laws and variance function on homogeneous cones2019

    • Author(s)
      Piotr Graczyk, Hideyuki Ishi and Bartosz Kolodziejek
    • Journal Title

      Probability and Mathematical Statistics

      Volume: 39 Pages: 337--360

    • DOI

      10.19195/0208-4147.39.2.6

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Presentation] Siegel-Gindikin integrals over regular open convex cones2019

    • Author(s)
      Hideyuki Ishi
    • Organizer
      Advances in the Geometric and Analytic Theory of Convex Cones
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] A promenade from Kahler Geometry to Information Geometry2019

    • Author(s)
      Hideuki Ishi
    • Organizer
      The 13th Korean conference on Several Complex Variables
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Open orbits and primitive zero ideals for solvable Lie algebras2019

    • Author(s)
      Hideyuki Ishi
    • Organizer
      6th Tunisian-Japanese Conference `Geometric and Harmonic Analysis on Homogeneous Spaces and Applications'
    • Int'l Joint Research
  • [Funded Workshop] 6th Tunisian-Japanese Conference `Geometric and Harmonic Analysis on Homogeneous Spaces and Applications'2019

URL: 

Published: 2021-01-27  

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