2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05178
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
梶原 毅 岡山大学, 環境生命科学研究科, 教授 (50169447)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 複素力学系 / 自己相似写像 / C*-環 / K-群 / 極大可換環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成２８年度は、以下のように研究を進めた。
分岐点が有限集合などの条件を満たす自己相似写像に付随するC*-環のコアの構造を解析するため、有限コアの行列表現の具体的表示を一般的に書き下し、それを用いて有限コアのK-群の計算を行った。さらに次元群作用の定義を分岐点を持つ場合に一般化し、具体例においてK-群の構造を調べるとともに、次元群作用が全射でないことを示した。この結果は論文にまとめて投稿する予定である。
複素力学系、および分岐点を持つ自己相似写像に付随したC*-環において、係数環が極大可換環になることを証明した。有限指数でないC*-加群を有限指数W*-加群に埋め込んで条件付き期待値を作ることで証明している。この結果はすでに論文にまとめて投稿しており、日本数学会年会でも発表した。関連して、有理関数力学系に付随したC*-環において、対角環にあたる係数環を保存する同型をもとの力学系の軌道同型で記述する研究を行なっており、さらに研究を継続している。
テント写像の任意有限個の直積、シルピンスキーカーペットなど、分岐点の集合が有限集合ではなく階層構造をもつ無限集合になる場合にコアの解析理論を拡張した。力学系に付随するC*-環のコアの行列表現を具体的に記述し、それを用いてイデアルの分類を行った。テント写像の２個の直積およびシルピンスキカーペットなどの例においては有限トレースの分類も行い、トレースの代数不変量からもとの力学系の情報を復元し、さらに研究を続けている。この結果は作用素論作用素環論研究集会および日本数学会秋季総合分科会で発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
理由は以下の通りである。
従来の研究を受け、分岐点が有限集合で分岐点の連鎖がない自己相似写像について付随するC*-環の解析を行なってきた。今年度は上記の仮定のもとで一般的に行列表現の形を記述することができた。それによってコアのK-群の生成元を具体的に記述することができ、研究に大きな進展があった。分岐点がある場合を含んだ次元群作用の定義を与えたが、これらの計算によって、自己同型でない次元群作用の自明でない例を初めて与えることができた。
また、従来はトレース、イデアルなどの分類においても、分岐点が有限集合であり、分岐点の連鎖を持たないなどの条件が必要であったが、より一般的な状況のもとで行列表現の形を具体的に与えることができた。従来はイデアルの分類に困難があったが、今年度の例においては、トレースに先立ってイデアルの分類を行うことができている。
力学系に付随する C*-環から元の力学系の情報を得るにあたって、C*-環の同型の性質を詳しく調べることが必要であり、特に対角環を保つ同型が重要である。これは力学系の軌道同型と関係しており、記号力学系では深く調べられているが、複素力学系などの連続力学系においては多くの困難があり、研究は代表者たちの他にはほとんどない。特に分岐点を含む場合に係数環が極大可換環になることを証明し、さらに応用として、無限生成クンツ環の極大可換環が自然に多数構成できることも示している。
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| Strategy for Future Research Activity |
有理関数力学系において、付随するC*-環において対角環を保存する同型に対応するように軌道同型の適切な定義を与える。さらに、具体例において軌道同型の分類を行い、C*-環から力学系への情報のフィードバックをめざす。
分岐点が有限集合で分岐点の連鎖が存在しないような自己相似写像に付随するC*-環のコアのK-群の計算と次元群作用についての研究を、論文の形で公表することをめざす。
分岐点が有限集合でない場合において、行列表現が可能なできるだけ一般的なクラスを定める。それらの力学系に対して付随するC*-環のコアのイデアルの分類、有限トレースの分類などを行い、研究成果をまとめて公表することをめざす。
有理関数力学系に付随するC*-環のコアに対して、すでに離散トレースは分類している。これまでに予想に反してファトウ集合から特異的な連続トレースが現れることを発見している。今後はファトウ集合のダイナミクスを解析し、環の構造とともに有限トレース全体の分類をめざす。また、行列表現の手法を改善しイデアルの分類もめざす。
さらに以下の研究も行う。高次元のグラフC*-環に有限グラフC*-環の理論を拡張し、KMS state、コアのトレース、K-群などの解析を行うことをめざす。また複数の有理関数が生成する半群が生成するC*-環についても、単純かつ純無限になることを示し、またコアの代数不変量からもとの力学系の情報を復元することなどをめざす。複素力学系の研究者との交流も深めあらたな問題を発掘する。
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| Causes of Carryover |
年度末にわずかに残額が発生したが、昨年度の研究成果を達成していたので無理に使用せず、今年度に併せて使用することとした。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
旅費については以下の通りである。連携研究者との研究打ち合わせ旅費を使用する。また、シンポジウム、学会などで研究成果を発表するための旅費を使用する。必要に応じて、力学系についての情報交換のために小規模の研究会を開催する。
その他、作用素環および力学系の図書を購入する。また、研究のためのソフトウエアなどの消耗品を購入する。さらに、研究成果を論文の形で発表するための費用を使用する。
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