2018 Fiscal Year Research-status Report
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16K05178
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
梶原 毅 岡山大学, 環境生命科学研究科, 教授 (50169447)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 自己相似写像 / 有理関数力学系 / C*-環 / K-群 / トレース / イデアル / 次元群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成３０年度は、以下のように研究を進めた。
昨年度に引き続き、自己相似写像に付随する C*-環のコアの研究を進めた。分点が有限個で連鎖しない場合場合のコアの行列表現の方法をさらに整備し、コアのK-群の帰納極限による記述を与えた。さらに有限コアのK-群とモデルトレースのペアリングを考え、K_0群のわかりやすい記述を与える方法を開発した。この方法によってテント写像に付随するC*-環のコアのK_0群が１階無限巡回群と同型になること、さらにK_0群への標準的な準同型が一方向シフトと同型になることを示した。これらの結果を論文にまとめてすでに投稿している。
さらにモデルトレースとK_0群の生成元についての関係を整備し、シルピンスキ・ギャスケットについてもコアのK_0群が１階無限巡回群に同型であること、しかし標準的な準同型は３方向シフトと同型になることを示した。コアのK-群としては同型で区別できなくても、次元群として考えると区別できることを示している。
さらに昨年度に引き続き、テント写像の任意個の直積、シェルピンスキ・カーペットなど、分岐点集合が有限集合ではなく、また分岐点の連鎖が存在する場合に理論を発展させた。この状況で行列表現の値域の直交分解を記述し、それを用いて離散モデルトレースの有限コアへの制限を記述している。また、コアの行列表現を応用することで、一般的な状況の元でコアのイデアルを分類し、離散トレースと原始イデアルが対応していることを示している。これらの結果は現在論文にまとめており、今後論文として投稿する予定である。
上記の結果は２０１９年の日本数学会年会で発表しており、さらに研究を続けている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
理由は以下の通りである。
非可逆な力学系に付随した C*-環は以前から研究されており、主たる研究手段はグルポイドである。グルポイドを作る際には、力学系の分岐点を無視するか避ける必要がある。力学系の解析において、次元群は多くの情報を含んでいることが知られているが、力学系の分岐点が存在する場合には、次元群の分岐点を取り込んだ構成はこれまで知られていない。本研究においては、C*-環の構成に分岐点を取り込んでいるだけではなく、コアのK-群、および次元群の定義において分岐点を積極的に取り込んでいる。
以前刊行した研究では、分岐点が有限集合であること、また分岐点の連鎖が存在しないことの仮定が必要であったが、今年度は、分岐点が有限集合ではなく、また分岐点の連鎖が起こり得る場合に対して理論を展開している。特に、現時点ではかなり一般的な状況に対して見通しのよい理論を構築しており、本研究を開始した時点よりも非常にわかりやすくなっており、また適用範囲も広くなっている。また、以前の論文においてコアのイデアルの分類を行ったが、一般的な状況での行列表現の値域の単純成分への分解を用いることで、非常に見通しの良い証明を与えることができている。
幾何学においても重要な役割を果たしている力学系の分岐点について、作用素環の観点からの見通しが進展しつつあることが、「当初の計画以上に進展している」と判断する理由である。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は以下の方針で研究を推進する。
すでに、テント写像、シェルピンスキ・ギャスケット等の例において、付随するC*-環のコアのK群の計算、および次元群の一部である標準的準同型の計算を行っている。その際に、K_0群は無限巡回群、標準的準同型は分岐点の個数個のシフトと同型になっていた。より一般的な状況に対してこの計算を発展させ、上の結果が一般的に成り立つことを示す。また、次元群の構造の解析として、次元群の正錐の構造を決定する。その際、有限コアのK_0群の生成元と離散モデルトレースのペアリングの構造をしらべることがが重要である。
テント写像の直積、およびシェルピンスキ・カーペットなどの例に対して、これまでイデアルの分類、離散トレースの分類、および離散トレースからの分岐情報の復元などを行ってきた。これらの延長として、コアの有限トレースの完全な分類を行なう。そのためには、高次元の分岐点集合における測度についての系統的な解析が必要となる。
また、リーマン球面上の有理関数力学系に付随するC*-環に対して、以前に離散トレースの分類を行ったが、イデアルの分類、連続トレースの分類等が今後の課題である。また、ジュリア集合に重点を置いて研究して来たが、ファトウ集合についても解析を進め、連続トレースの分類に発展させる。また、有理関数力学系に付随するC*-環の情報から、ジュリア集合上の作用を復元することもめざす。
これまで調べてきた具体例に加えて、高次元グラフ、複数の有理関数から生成される半群力学系などに対しても、付随するC*-環のKMS state, コアの構造を解析し、もとの力学系との対応についても調べて行く予定である。
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| Causes of Carryover |
研究が当初の目的以上に進み、経費に若干剰余が生じたが無理には使用せず、次年度の請求額と併せて使用することとした。
連携研究者である九州大学の綿谷安男名誉教授と研究打合せを行なうための旅費、名古屋大学の山上滋教授、千葉大学の渚勝教授等から研究情報を得るための旅費、学会、シンポジウムなどで成果を発表するための旅費などを使用する。また、作用素環、力学系関係の図書を購入する。さらに、複素力学系について数値計算、数式処理を行なうため、新たにソフトウエアを購入する。また、論文出版のため、投稿費用も支出する。
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Research Products
(2 results)
