2021 Fiscal Year Research-status Report
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16K05178
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
梶原 毅 岡山大学, 環境生命科学研究科, 特命教授 (50169447)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | C*-環 / K-群 / 離散力学系 / 自己相似写像 / シフト |
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| Outline of Annual Research Achievements |
コンパクト空間上の自己相似写像、リーマン球面上の複素力学系などの、分岐点を持つ離散力学系から Cuntz-Pimsor の手法でC*-環を構成し、C*-環の代数的不変量からもとの力学系を調べる研究を行っている。
古くから知られている記号力学系において、ゲージ群不変環、すなわちコアにもとの情報の多くが含まれていることから、報告者は、近年力学系に付随するC*-環のなかでも、主としてゲージ作用不変環、すなわちコアの構造解析、代数不変量の計算などに重点を置いている。
本研究の出発点からこれまで、研究対象に対してかなり強い条件をつけて、コアの有限トレース、イデアルの完全分類を行った。また、テント写像、さらにはこれを一般化した１次元の区間力学系に対して、付随する C*-環のコアの K-群は整数群 Z であり、標準準同系は重複度がグラフの本数-1になるような１方向シフトになることを示した。この結果を示すために準備として、コアの行列表現の理論を準備した。これらの結果は、"Dimension groups for self-similar maps and matrix representation of the core of the associated C*-algebras, " Canad. J. Math. (2021) で刊行した。
上で述べた場合の研究対象の条件の制限が少し厳しいので、分岐点についての制約を緩めた状況についても、自己相似写像の新しいクラスを定義し、トレース、イデアル、K-群などについて研究を進めている。シェルピンスキ・カーペット、テント写像の直積等がこの例に含まれ、これらについて、付随する C*-環の研究を進めている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究においては、当初は離散力学系の Cuntz-Pimsner 環の性質を研究しており、生成したC*-環が単純、かつ順無限になることなどを示した。また、有理関数力学系の場合も含めて、KMS-state の完全分類を行った。ただし、力学系の性質を強く反映しているのはコアであることより、近年はコアに重点を置いて研究を進めている。
また、これまでは力学系に対して強い性質を仮定して、トレース、イデアルの完全分類を行った。コアに対して分岐点から構成できる離散トレースと、コアの K-群のペアリングを考えることで、次元群の標準準同系から区間力学系、シェルピンスキ・ギャスケット等に特有の量を復元することができている。力学系に対する仮定を弱めても、コアの行列表現、離散トレースとのペアリングにより、コアの離散トレースとイデアルの対応が成り立つことを予想している。
自己相似写像の場合は、連続な全射に対して有限個の切断が存在し、それを用いてコアの行列表現が可能になることにより、研究が大きく進歩した。リーマン球面上の有理関数の場合は切断を取れないことが多く、このことが研究推進の障害になっている。テント写像のように、自己相似写像、有理関数力学系両方の表示を持っているものもあり、有理関数についての結果が望まれる。
なお、証明の核心的部分において、離散モデルトレースの有限コアへの制限をコアの行列表現の分解成分で記述できることを発見し、これは大きな驚きであった。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでは、Cuntz-Pimsner 環自身の研究から、特に自己相似写像から作られる C*-環のゲージ作用不動点環、すなわちコアの構造及び代数不変量に研究の重点を移し、また分岐点に対して強い条件をつけて、有限トレース、イデアルの分類、またトレースとイデアルの対応等の研究を行ってきた。これらの条件は理論の証明を見やすくし、見通しを良くしてくれるが、必ずしも全てにいて必要ではないことがわかってきた。
分岐点が有限個であること、分岐点の連鎖が存在することなどの条件が成立しなくても、付随する C*-環のコアの便利な行列表現が存在する条件を見出すことができた。この条件のもとで、コアのイデアルの完全な分類、及び有限トレースとイデアルの一対一対応についての証明の見通しが立っており、今年度はこれを推進する。また、有限トレースの分類については、点密度に対応するトレースの分類は完了しており、点密度を持たない有限トレースの分類がまだ手付かずである。今年度は、これについても、見通しをつけて、次の研究課題につなげて行く。
さらに、リーマン球面上の有理関数力学系についても、すでに離散トレースの分類を行っており、連続トレースの分類と合わせたトレース、イデアルの完全分類が残っている。この研究のためには Fatou 集合の解析が必要であり、これについても今後の課題である。
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| Causes of Carryover |
本予算のかなりの部分が、研究打ち合わせ、及び研究成果成果発表のための旅費を予定していた。今年度の研究期間の全てに亘ってCOVID-19 が蔓延し、予算の大半部分の執行が困難になった。学会、研究集会、セミナー等の多くはオンラインで開催されたので、研究に必要な知識を得ることはできたが、一部は出席できたが、全体として予算の執行に困難があった。
一方、研究打ち合わせについては、以前から対面で議論するかたちの研究スタイルを取っていたので、研究の実施及び予算の執行に大きな支障があった。
次年度については、COVID-19の流行の様子を見ながら、学会、研究会への対面出席、研究打ち合わせなどを実施する。
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