作用素平均を用いた作用素不等式の研究とその量子情報理論への応用

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 16K05181
• Research Institution: Maebashi Institute of Technology
• Principal Investigator: 伊藤 公智 前橋工科大学, 工学部, 准教授 (00510702)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 作用素不等式 / 作用素平均 / 作用素単調関数 / 作用素エントロピー

Outline of Annual Research Achievements

本研究では，ヒルベルト空間上の有界線形作用素を扱う．その中でも，特に作用素不等式や作用素平均に関する研究，それらの応用としての量子情報理論や作用素エントロピーの性質に関する研究を行っている．
2つの実数あるいは作用素の重み付き平均として相加平均，相乗平均，調和平均が知られており，これらの拡張として重み付きHeron meanやPal, Singh, Moslehian, Aujla (2016)による重み付き対数平均が知られている．これまでの本研究の成果として，重み付き平均の定義について重みをパラメータとするpathとみなす立場から精査し，Palらの重み付き対数平均や重み付きHeron meanを含む一般化を与えた．そのことにより，新たに重み付きHeinz meanを導入し，重み付きHeron meanや重み付き対数平均との関係を示すことができた．令和2年度（2020年度）は，この研究結果について別の角度から研究を行った．具体的には，他の研究者の論文で得られている作用素平均のpathとの関連について調べ，いくつかの重み付き平均の間の関係を得ることができた．現在，この結果を論文としてまとめており，次年度に学会や研究集会での発表と論文雑誌への投稿を行う予定である．
また，以前の私の研究において，2つの作用素（または行列）の順序を保存する不等式として知られているフルタ不等式や，その拡張である一般化フルタ不等式を，n個の行列の幾何平均であるKarcher mean（Riemannian mean）を用いて拡張した．令和2年度（2020年度）は，この研究結果に関する考察も行っており，可能であれば次年度に研究結果をまとめることを予定している．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

本研究では，具体的な研究項目として次の3点を掲げている．1. 作用素平均と関連した新たな作用素不等式の開発，2. 作用素エントロピーの性質についての研究，3. 量子情報理論の作用素論的基礎付け．
令和2年度（2020年度）は主に1に関する研究を行い，一定の結果を得たものの，コロナ禍において教育に関する業務の負担が増大したため，研究成果をまとめるに至らなかった．

Strategy for Future Research Activity

今後は，前年度に引き続き，異なる作用素平均の間の関係を調べること，作用素エントロピー，作用素ダイバージェンスやそれらと関連する量について調べることに取り組む．今年度は，これまでの本研究の成果と他の研究者の論文で得られている作用素平均のpathとの関連について調べた結果を精査し，論文としてまとめる予定である．
本研究で得られた結果については，論文雑誌に投稿する．また，日本数学会年会・秋季総合分科会や京都大学数理解析研究所で行われる研究集会等で発表を行う．令和3年度（2021年度）は，新型コロナウイルス感染症の影響により学会等の開催予定が未確定であるが，可能な限り学会等で発表を行うことを予定している．これらの研究活動の遂行のため，書籍の購入，論文掲載料，旅費等の経費を使用する．

Causes of Carryover

（理由）
令和2年度（2020年度）は，支出予定であった旅費が学会の中止やオンライン開催のため使用できなかった．そのため，残額は次年度の学会等への参加や論文掲載料等として使用することとした．
（使用計画）
日本数学会年会・秋季総合分科会や京都大学数理解析研究所で行われる研究集会に参加する等，学会や研究集会参加のための旅費として使用する．また，論文掲載料，書籍や文具等購入のための物品費として使用する．