諸分野に現れるタウ関数の構造

2018 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 16K05184
• Research Institution: Rikkyo University
• Principal Investigator: 筧 三郎 立教大学, 理学部, 教授 (60318798)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: 可積分系 / 特殊関数 / 数理物理学

Outline of Annual Research Achievements

本研究では，可積分系の研究における「タウ関数」という視点を広げるとともに，その概念と諸分野との関連を考察することで，可積分系の世界をさらに広げていくことを目標としている。2018年度は，離散可積分系と関連するテーマを研究し，いくつかの成果を得た。1) Jeu de taquin というヤング図形の操作と対応する行列式タウ関数に関して，タウ関数を格子経路の組合せ論によって記述することを試みている。これは前年度から研究したテーマであるが，証明の細部についてもほぼ完成し，現在論文を執筆中である (太田泰広(神戸大)・上岡修平(京都大)との共同研究)。2) 確率的交通流モデルに対して，Gelfand-Kapranov-Zelevinsky (GKZ) 超幾何系との関係を研究した。現在はシミュレーションとの整合性を検討しているところである。この研究で用いた GKZ超幾何系を用いる手法は，より広いクラスの確率モデルに適用できる可能性がある。2018年度中にも関連分野の研究者と予備的な議論を行っており，さらなる発展が期待できる。 3) 格子ブシネスク方程式とKP階層のタウ関数との関係を研究した。格ブシネスク方程式と関連する正方格子上の方程式については，これまでに数種提案されているが，それらのうちのいくつかについて結果を得ており，現在論文を準備中である。格子ブシネスク方程式は "格子 Gelfand-Dikii 階層" という系列に含まれるものであり，そのことを通した離散パンルヴェ方程式との関係など，今後の発展が期待できるテーマであると考えている。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

格子経路の組合せ論と戸田方程式については2018年度中に論文をまとめる予定であったが，間に合わなかった。現在では証明のアイデアは仕上がっているので，なるべく早く完成させたいと考えている。また，交通流モデルについてのシミュレーションも，予想よりも進展させることができなかった。これらについては2019年度に重点的に研究する予定である。

Strategy for Future Research Activity

上述の，格子経路，交通流モデルという2つの話題については，可能な限り早い時期に論文を完成させて投稿する予定である。2018年度より研究を開始した格子ブシネスク方程式のタウ関数については，関連する研究を行った研究者が国内にいるので，彼らと議論を行って理解を深めていきたい。そして，「研究実績の概要」の欄で述べた結果も含めて，それぞれの結果を拡張していくことで，新たな成果が得られるものと考えている。

Causes of Carryover

2018年度に開催した国際会議において，オーガナイザーを務めた。その際，関連分野を研究する海外からの出席者に対する旅費を，本科研費から支出する予定であったが，国際会議への参加者が想定より多く，予定してよりも多くの参加費収入があったため，本科研費より旅費を支出する必要がなくなった。また，１件予定していた海外出張が，個人的な事情によって取りやめとなったため，その分の旅費支出も行わなかった。これらについては，2019年度の海外出張，および国内での研究打ち合わせのための旅費として使用する予定である。