2018 Fiscal Year Annual Research Report
Combinatorics study of zero-dimensional systems - beyond Bratteli-Vershik systems
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16K05185
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| Research Institution | Nagoya Keizai University |
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Principal Investigator |
下村 尚司 名古屋経済大学, 経済学部, 教授 (30440770)
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2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | substitution subshift / minimal / topological rank / residually scrambled / Bratteli-Vershik system / graph covering method |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Bratteli-Vershik 系方面としては，従来手が着いていなかった零次元系を，有限グラフ被覆系を手段として研究する．
Bratteli-Vershik 表現や，我々の有限グラフ被覆系は，大凡零次元系を，有限グラフ列の射影的極限として表現する．このグラフの有限性の下限が，零次元系の位相的ランクと呼ばれる．同相とは限らない極小零次元系の位相的ランクが，自然拡大を取ることによって増加しないことを示した (Kyushu J. Math. (2017))．極小代入力学系の問題に取り組み，基本的な問題を定理化した．具体的には primitive ではない極小代入力学系を生成する，代入写像の特徴付けに成功した (Topol. Appl. に受理)．組み合わせ論的零次元系の研究は，周期点が発生する場合に，先行する研究が無かった．それゆえ位相的ベルヌーイ系など，重要な系達が排除されていた．あらゆる零次元系が，非自明で有用な，Bratteli-Vershik 表現を持つことを示し研究に道を開いた．特に basic set と呼ばれる集合があらゆる零次元系に存在することを証明することになった．しかし，査読が長引いている．それでも有限ランクの場合には，零次元系が odometer を含まなければ，拡大的であるという結果を得，掲載に至った (Proc. Amer. Math. Soc. (2017))．
これらと平行して，組み合わせ論的に，位相的カオスを構築することも目的であった．これについては，単なる事例研究に留まらず，位相的ランクが 2 の proximal な零次元系が全て residually scrambled であることを示すことが出来た (Dynam. Syst. (2018))．
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