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2016 Fiscal Year Research-status Report

アーベル関数論の可積分系への応用

Research Project

Project/Area Number 16K05187
Research InstitutionSasebo National College of Technology

Principal Investigator

松谷 茂樹  佐世保工業高等専門学校, 一般科目, 教授 (30758090)

Project Period (FY) 2016-04-01 – 2019-03-31
Keywordsアーベル関数論 / 代数曲線 / 数値半群 / σ関数
Outline of Annual Research Achievements

28年度はアフィン曲線でのヤコビの逆問題の精緻化に集中し、特異曲線を正規化することで得られる空間曲線に対するσ関数の研究から開始する計画を申請時に立てた。その計画に従い、無限遠点をWeierstrass点とする点付リーマン面でかつ、Weierstrassの正規形式と呼ばれる代数方程式に従う代数曲線でのヤコビの逆問題に関する研究を実施した。特に、対象とした曲線は、(p,q,r)型の曲線、つまり、3次元のアフィン空間曲線で無限遠点のWeierstrass非ギャップが、数値半群<p,q,r>で構成されるものであった。更にp=3となる曲線で、巡回群の作用が大局的に存在する曲線を詳しく調査した。
共同研究者である米田二良教授(神奈川工科大学)との研究打ち合わせを、数学会(秋と春)を利用して実施し、議論が深まった。また、数値解析ソフトウエアMapleなどの研究環境の整備により、様々な数値実験や考察が可能となり、具体例、数例の構築ができた。
それに先立ち、前年度投稿し、出版された論文 (Arch. Math. (2016) 107:499-509)の結果に従い、また上記研究の進展により、リーマン定数や、アーベル写像をシフトすることにより、上記の(3,q,r)型の曲線に対して、σ関数が定義できることを示した。さらに、ヤコビの逆問題に関しても、明解に提示でき、多くの知見を得た。現在、研究論文を執筆中で、29年度夏には、雑誌に投稿予定である。計画通りに進行している。
また、アーベル関数論には直接関連しないが、「量子ウォークと光学現象の研究」(arXiv:1610.02393)や「結晶のらせん転位の代数構造に関する研究」(arXiv:1605.09550)、「ロボティックスにおけるCagingの幾何学的研究」(arXiv:1701.02246)は、研究内容がアーベル関数論へのフィードバックも期待されるため、研究を実施しプレプリントとして公開した。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

計画通りに推移している。
具体的には、28年度の計画に従い、無限遠点をWeierstrass点とする点付、リーマン面でかつ、Weierstrassの正規形式と呼ばれる代数方程式に従う代数曲線でのヤコビの逆問題に関する研究を実施した。出版された論文 (Arch. Math. (2016) 107:499-509)の結果に従い、また上記研究の進展により、リーマン定数や、アーベル写像をシフトすることにより、(3,q,r)型の曲線に対して、σ関数が定義できることを示した。さらに、ヤコビの逆問題に関しても、当初、計画していたものより、明解に提示できた。研究論文は現在、執筆中であり、29年度夏には、雑誌に投稿予定である。
また、研究は、29年度実施予定である特異曲線でのσ関数に関するものに移行する見込みである。

Strategy for Future Research Activity

29年度は、28年度に得られた結果を基に、申請時に述べたアフィン曲線でのアーベル関数、σ関数の代数構造及び微分構造の解明に集中する。特に、代数曲線のモデュライ空間での特異曲線の周りでのσ関数のモデュライパラメータに関する振る舞いを、より精密に検討する計画を申請時に立てた。計画に従い、 (3,4)平面曲線と(3,4,5)空間曲線に対するそれぞれのσ関数について詳細に、その様子を研究する予定である。
但し、当初、予定をしていなかったが、超楕円曲線に関しては、ウクライナのLeykinらが、特異超楕円曲線でのσ関数の振舞に関しての研究を行い、論文を公表しているので、その結果との対比なども実施したいと考え、ウクライナの研究グループと議論を始めている。

  • Research Products

    (11 results)

All 2017 2016 Other

All Int'l Joint Research (1 results) Journal Article (2 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Peer Reviewed: 2 results) Presentation (7 results) (of which Invited: 5 results) Book (1 results)

  • [Int'l Joint Research] ボストン大学(米国)

    • Country Name
      U.S.A.
    • Counterpart Institution
      ボストン大学
  • [Journal Article] The Riemann constant for a non-symmetric Weierstrass semigroup2016

    • Author(s)
      Jiryo Komeda, Shigeki Matsutani & Emma Previato
    • Journal Title

      Arch. Math.

      Volume: 107 Pages: 499-509

    • DOI

      10.1007/s00013-016-0962-7

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] From Euler’s elastica to the mKdV hierarchy, through the Faber polynomials2016

    • Author(s)
      Shigeki Matsutani & Emma Previato
    • Journal Title

      J. Math. Phys.

      Volume: 57 Pages: 081519

    • DOI

      10.1063/1.4961690

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Presentation] 弾性曲線の統計力学:オイラーのエラスティカを超えて2017

    • Author(s)
      松谷茂樹
    • Organizer
      24 回 沼津研究会 幾何,数理物理,そして量子論力学
    • Place of Presentation
      沼津高専
    • Year and Date
      2017-03-07 – 2017-03-07
    • Invited
  • [Presentation] 製造業の危機と現代数学の役割2016

    • Author(s)
      松谷茂樹
    • Organizer
      新たな数理科学の可能性に向けて- IoT・人工知能・量子ウォークとその周辺
    • Place of Presentation
      横浜国立大学
    • Year and Date
      2016-12-18 – 2016-12-18
    • Invited
  • [Presentation] Jacobi inversion formulae for a trigonal curve y3 = x2k(x)2016

    • Author(s)
      Jiryo Komeda, Shigeki Matsutani & Emma Previato
    • Organizer
      日本数学会
    • Place of Presentation
      日本数学会 函数論
    • Year and Date
      2016-09-16 – 2016-09-16
    • Invited
  • [Presentation] MKdV- ow and Statistical Mechanics of Elastica2016

    • Author(s)
      Shigeki Matsutani and Emma Previato
    • Organizer
      応用数理学会 応用可積分系
    • Place of Presentation
      北九州国際会議場
    • Year and Date
      2016-09-13 – 2016-09-13
  • [Presentation] 自然現象の代数的表現: 平方剰余の相互法則,ガウスの和と光学現象2016

    • Author(s)
      松谷茂樹
    • Organizer
      九州大学IMI
    • Place of Presentation
      九州大学 IMI
    • Year and Date
      2016-09-02 – 2016-09-02
  • [Presentation] 企業での数理解析における形状表現2016

    • Author(s)
      松谷茂樹
    • Organizer
      三次元幾何モデリング評価手法の提案とソフトウェア開発
    • Place of Presentation
      九州大学 IMI
    • Year and Date
      2016-08-23 – 2016-08-23
    • Invited
  • [Presentation] 三相界面の数理モデルと特異点論―インクジェットプリンターの流体シミュレーション より2016

    • Author(s)
      松谷茂樹
    • Organizer
      特異点論とその応用セミナー
    • Place of Presentation
      青山大学
    • Year and Date
      2016-06-04 – 2016-06-04
    • Invited
  • [Book] ものづくりの数学のすすめ2017

    • Author(s)
      松谷茂樹
    • Total Pages
      p.312
    • Publisher
      現代数学社

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Published: 2018-01-16   Modified: 2022-02-16  

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