2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05191
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
町原 秀二 埼玉大学, 理工学研究科, 准教授 (20346373)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | Thirring model / Chern-Simons-Dirac / Dirac-Klein-Gordon / well-posedness / ill-posedness / trace theorem |
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| Outline of Annual Research Achievements |
岡本葵氏、Huh Hyungjin氏との共同研究で Thirring モデルを表す非線形分散型偏微分方程式の初期値問題の適切性と非適切性を示した。非線形項の形状によっては適切性と非適切性で完全分類に成功している。論文 Well-posedness and ill-posedness of the Cauchy problem for the generalized Thirring model として公表。
岡本葵氏との共同研究でCSDモデルの初期値問題の適切性と非適切性を得た。尺度不変な関数空間での取り扱いはこれまで特別な初期値においてしか解決していなかったが、今回それを一般の初期値で示した。論文 Sharp well-posedness and ill-posedness for the Chern-Simons-Dirac system in one dimension として公表。
岡本葵氏との共同研究でDKGモデルの初期値問題の非適切性を得た。これにより適切と非適切の分類はほぼ完成した。また同モデルに対しルベーグ空間のみを用いた適切性の結果も得た。論文 Remarks on ill-posedness for the Dirac-Klein-Gordon system として公表。
Bez Neal氏、杉本充氏との共同研究で単位球面上のトレース定理における不等式の最大化関数の特徴付けを行った。最大化関数となり得るための必要十分条件を得た。論文 Extremisers for the trace theorem on the sphere として公表。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
岡本葵氏との共同で進めている空間１次元におけるChern-Simons-Dirac方程式の初期値問題の適切・非適切性の分類は完全に解決できたので当初の計画以上に進展していると言ってもよい。これまで特別な初期値に拘り研究を進めてきたが今回、一般の初期値に対して結論を得ることができたことは予想していなかった。
また岡本氏とともに進めている空間１次元Dirac-Klein-Gordon方程式の初期値問題適切性に関しては一部、非適切における進展があったものの、いまだ一ヶ所が未解決である。具体的には解が所属する空間をソボレフ空間で研究を行っているがDirac方程式の解が所属する空間の指数とKlein-Gordon方程式の解が所属する空間の指数の組として一組が解けていない。その一ヶ所はあらゆる評価が破綻する箇所であり、新しい技術が必要であるためもうしばらく研究に時間を要すると思われる。
また上記Chern-Simons-Dirac方程式、Dirac-Klein-Gordon方程式で培われた技術を他の方程式に応用することには幾つか成功している。一つは一般化されたThirringモデルの方程式であり、ここには岡本氏とさらにHuh氏を加えた共同研究で得られたものである。我々の先攻論文の技術が機能することが確認できたが、実はそれだけでは取り扱えない評価式の部分もある。例えば関数の絶対値のソボレフ空間での取り扱いが実数値関数では容易に得られる不等式が、複素数値関数として扱うと途端に問題は難化し現在のところ手が付けられない状況にある。この問題は偏微分方程式の研究を離れ実解析的関数空間論の問題としてそれ自体が興味深い。実は実解析的関数空間論は研究計画に含まれておりHardyの不等式の一般化の研究なども平行して遂行中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
空間１次元Dirac-Klein-Gordon方程式の初期値問題の適切性と非適切性の完全分類を目指す。解の所属する関数空間をソボレフ空間で考えているが、現在一ヶ所の指数の組が解けていない。ある指数では瞬時所属関数空間逸脱現象を示すことに成功しているが今回の一ヶ所はその現象を示すのは難しいと考えている。適切性の三条件、解の存在、解の一意性、解の初期値に対する連続依存性の中で解の初期値に対する連続依存性を崩すことが現在の方策である。この解の初期値に対する連続依存性を崩す技術は幾つか知られているものがある。自由解を２次の非線形項に代入した非線形評価が成立しない場合、解は初期値に対し２回連続微分が不可能という結果をもたらす。これは弱い意味で非適切であると言える。しかし連続性の不成立を示さなければ非適切と言えないために、その２次の非線形項に代入したもの以外の項を制御する必要がある。つまり２次の非線形項に代入したもの以外の項はある意味で性質の良い関数の項であることを示す。そこにはKishimoto-Tsugawaの非線形評価不成立項の抽出法、やIwabuchi-Ogawaのテーラー展開を用いた級数展開評価法が有効であると考えている。またIwabuchi-Ogawaの論文の中で用いられたmodulation空間はこの級数展開評価法において関数の正則度を必要以上に要求しないため、今回の我々の問題のように低い正則度で議論する場面では有用と思われる。modulation空間、ソボレブ空間、もしくはその二つの併用で研究を行う。またDirac-Klein-Gordon方程式には非線形項が零形式の条件を満たすために、適切性では便利に利用してきたが、非適切性の議論においては慎重な取り扱いが求められる。
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