2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05192
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
今村 卓史 千葉大学, 大学院理学研究科, 准教授 (70538280)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 非対称排他過程 / KPZクラス / 可積分確率過程 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
q-TASEPと呼ばれる相互作用確率粒子系における粒子の位置の分布関数の解析を行った。q-TASEPは完全非対称排他過程(TASEP)の拡張であり2011年にBorodin-Corwinによって導入され、step初期条件と呼ばれる特別な初期条件において、粒子の位置の分布やその長時間極限が得られていた。この結果はマクドナルド作用素やマルコフ双対性の手法を用いて、粒子の位置に関するモーメントの行列式構造を明らかにすることによって得られた。他方q-TASEPの定常状態に関しては、モーメントが発散するために上記の既存の手法が適用できず、極限分布の性質が議論されていなかった。我々は東京工業大学の笹本智弘氏と共同で、モーメントに着目しない新たな解析手法を考案し、定常状態q-TASEPの粒子位置の極限分布を得た。より具体的にはマクドナルド対称関数の性質を用いて、ランダムな初期条件におけるq-TASEPの位置の分布関数をコンパクトな形で表し、さらにRamanujanの和公式やCauchyの行列式公式の楕円関数版を用いて、粒子位置のq-Laplace変換が単一のFredholm行列式で表されることを明らかにした。また得られたFredholm行列式の漸近解析を行うことによって、q-TASEPの粒子位置の極限分布がBaik-Rains分布と呼ばれる定常KPZクラスを特徴づける分布関数に収束することを明らかにした。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
定常q-TASEPの性質を明らかにするために、既存の手法に頼らない方法を考案し、定常状態における粒子位置の極限分布を得ることができたため。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究と関連する研究が昨年いくつか出てきた。AggarwalはASEPと呼ばれるq-TASEPと関連するが異なる確率過程の定常状態を考察した。その際Borodin-Petrovの頂点模型の解析を応用している。またBorodinは、頂点模型のモーメントとSchur過程と呼ばれる行列式点過程の
ある種の量が等しいことを明らかにしている。今後は我々の研究との関連性を考察しつつ、我々の手法の一般化を考えていきたい。
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| Causes of Carryover |
今年度は他の財源があり、そちらを優先的に使用する必要があったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
国際会議で出張する予定なのでそのための旅費および、計算機、ソフト等の購入に使用する予定である。
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