確率偏微分方程式の解の正則性と逆問題の研究

2017 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 16K05196
• Research Institution: Shinshu University
• Principal Investigator: 乙部 厳己 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (30334882)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: 確率偏微分方程式 / 変分法

Outline of Annual Research Achievements

非線形の確率偏微分方程式の研究は、Hairerによる正則構造の研究以降急速に発展している。Hairerの研究においては、確率偏微分方程式の軟解の構成において、Picardの逐次近似法の各段階で適切な繰り込み操作を行うことが基本的なアイディアであると思われる。ただしこれは基本的には主要項が線形でなければならない。一方で主要項が非線形であるような準線形型の方程式に対しては変分法的手法以外に効果的な扱いが知られていない。しかしながらこの方法では扱える雑音項に制限が強く軟解の手法と比べればまだ大きな差がある。そこで、昨年度から継続して考察してきた変分法的手法について、雑音項の拡張に加えて正則構造との関連も意識におきながら体系的にその手法を整理・考察してきた。これらが本質的には同等の問題であるという手応えは感じつつあるものの、現時点ではそれを明確に定式化するには至っていない。しかし、雑音項が白色雑音であり、拡散係数によって滑らかにされている場合、その拡散係数の収束という観点からはそれなりに知見が得られている。これは無限次元の色つき雑音であり、有限次元雑音による近似に対してその場合の解析がどの程度意味をなすかなどが当面の研究課題となる。
一方で雑音項のモードが増加する際の解の挙動を視覚的に把握することがこの一助となると期待しているため、Gyongyの手法による確率偏微分方程式の陰的解法を計算機上で実装し、有限次元雑音の場合を解析できるように実装を進めた。現時点ではまだ解の挙動を表示できる程度であるが、雑音の次元による差を明確に捉えられるように修正を進める予定である。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

成果を明確なものとしてまとめることは未だになされていないが、変分的手法による通常の及び確率偏微分方程式の手法についてはかなり整理でき、問題点も明確にすることができた。その成果については、出版予定の書籍（「確率偏微分方程式」（岩波書店））の第4章にまとめることができた。

Strategy for Future Research Activity

本研究計画を推進するために、今年度はより解析学的立場に近い（確率）偏微分方程式の研究者らを招聘し、最新の手法について情報の交換を行うと共に、引き続き有限次元雑音の雑音効果の遷移状態に関する研究を進める。

Causes of Carryover

当初予定していた海外研究者の招聘が都合により実現できなかったために使用予定額との間に差額が生じた。平成30年度については引き続き日程の調整に努め、海外研究者の招聘または海外出張を行う。そのため、次年度使用額は、平成30年度請求額と合わせて旅費として使用する。