確率偏微分方程式の解の正則性と逆問題の研究

2018 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 16K05196
• Research Institution: Shinshu University
• Principal Investigator: 乙部 厳己 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (30334882)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: 確率偏微分方程式

Outline of Annual Research Achievements

確率偏微分方程式の取り扱いには主として半群的方法と変分的方法とがある。前者は繰り込み効果を取り込みやすいが半群と雑音項とを一体で積分するため雑音情報の取り出しには難があり、後者は各項を個別に扱うため有限次元と同様の雑音の取り扱いが可能になると期待されているものの繰り込み効果が生じる仕組みが明らかになっていないため時空間白色雑音などは取り扱うことができていない。逆問題などを考察するとき、前者の方法は問題を取り扱いづらくするため、後者の方法が望ましいが、雑音が空間的に独立でない場合を扱えず、現時点ではやはり難がある。そこで変分的手法において繰り込みが生じる仕組みを明らかとするため、非自明な非線形方程式について雑音項の各モードがどのように階全体に伝播し、確率的な相殺効果がどのように発生するのかを調べることから始めなければならない。
ところが、この種の非線形効果を解析することは困難であり、現状ではいくつかの具体的な場合で状況分析を実施している。そのほか、線型な場合にはモードの伝播を伴わないが、その場合でも変分法的な取り扱いは依然困難であるものの、解が通常の関数空間に存在することはよく知られているので、確率的な相殺効果はそこにも存在していることが想像される。しかしそれが非線形方程式に対する相殺とどのような関係にあるのかは一切不明であり、その意味で線型の方程式のような場合であっても慎重に確率的な効果を見極める点に主眼を置いて議論を進めなければならない。そのため安易に弱位相のもとでの議論はできず、収束について深く解析が必要となる。この点については、現状ではいくつかの鍵となる箇所を明らかとしてはいるものの未だ解明までは距離がある。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本研究は確率偏微分方程式で記述される現象に対して観測値から係数を推定する逆問題の考察を対象としていた。そのような逆問題においては、非確率的方程式の場合には従来から広くまた深い十分な研究がなされている。そのため、純粋に数学的観点に立つと、本研究の目的は方程式が内包する雑音効果が観測データにどのように反映されるかを相当程度解明することが目的といってよい。しかしながら、雑音効果が単なる超関数係数のように反映されるのでは説明されない正則性をもつのが確率偏微分方程式であり、微分作用素と雑音項が相互に何らかの作用をして実数値を取る。そのため、このようなある種の繰り込み現象がどのように発生しているかを解明することが必然的に研究課題となるが、これはこの数年で急速に発展している非線形方程式に対する繰り込み現象を理解することと必然的に強い関係を持つことになる。しかもその繰り込み現象は変分的手法ではまだ捉えきれるとは到底言いがたい状況にあり、非線形方程式の繰り込みの解明と逆問題の研究とは数学的には本質的な部分において類似性があることが見いだされてきたので、研究自体としては概ね順調といってよいと思われる。

Strategy for Future Research Activity

逆問題の解明のために、その解の正則性が現れる仕組みを分析するなかで、それは近年きわめて活発に研究されている正則構造理論に代表される繰り込みと強い関係があることが分かってきた。しかしながら、現状の正則構造理論は本質的に半群的方法に依存しており、変分的手法に対してはあまり成果があげられていない。変分法的な扱いにおける正則性は雑音効果の確率的相殺及び雑音モードの非線形伝播に由来するものと信じており、今年度も引き続いてその観点から、最も簡単な線型の方程式も含めて具体的な方程式を中心としてその構造を調べる予定である。その知見を生かし、それらに対する逆問題の研究及び確率偏微分方程式の正則性の研究へと発展させる予定である。

Causes of Carryover

2018年度は日程調整が難航したことなどがあり、海外出張および共同研究者の招聘のいずれも次年度に見送らざるを得なくなったものがあった。そのため生じた未使用の旅費を次年度における共同研究者招聘のために使用する予定である。2019年度請求額は、当初の予定通り海外出張旅費及び共同研究者招聘旅費として使用する計画である。

Research Products

• [Book] 確率偏微分方程式 (2019)
  • Author(s): 舟木 直久、乙部 厳己、謝 賓
  • Total Pages: 376
  • Publisher: 岩波書店
  • ISBN: 978-4-00-029825-4