Regularity and inverse problems for stochastic partial differential equations

2020 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 16K05196
• Research Institution: Shinshu University
• Principal Investigator: 乙部 厳己 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (30334882)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: コーシー分布 / 不偏推定量 / 最尤推定量 / 擬算術平均

Outline of Annual Research Achievements

当研究においては確率的な揺動を持つ微分方程式および偏微分方程式について、その解の正則性を議論するとともに、観測された解の情報をもとに方程式の係数を決定する逆問題の構造を明らかとすることを目標とした。解の正則性の研究については概ね想定した通り進められていたが、逆問題については、統計学的観点に立った推定論について新に考察をしなければならない点が多々現れた。そこで当研究では安定型の雑音項、特にコーシー型の確率分布について、統計的な点推定論に相当する基礎研究をまず進める必要が明らかとなった。
そこで、コーシー分布に従う確率変数をXと表すとき、Xのp乗（0 < p < 1）を求めることから研究を開始した。いうまでもなくXは負の値もとるため、これは複素数値の積分として理解する必要がある。結果、コーシー分布の位置と尺度の2つのパラメータをμとσとおくとき、γ=μ+iσと定めてγ^pがその積分値である。この簡明な表式を得たため、安定分布に従う確率（偏）微分方程式の逆問題への準備として、現静岡大学の岡村和樹氏とともに、まずはその期待値に関する性質を明らかとすることとした。
結果p > 0の場合であればうまく繰り込み操作をとることで不偏推定量を構成でき、またそのp→0に対応するある種の幾何平均も不偏推定量であることを示した。これは擬算術平均に一般化できることも示され、その極限挙動についても十分な研究成果を得た。
今年度は幾何平均をもとにして、2パラメータに対しての同時区間推定に対応する信頼円板も構成した。さらにこの研究を通じて最尤推定方程式についても新たに簡明な表現を得たので、力学系的観点からその不動点として最尤推定量の性質を議論した。
これらの結果は複数の研究論文としてまとめ論文誌へ投稿したほか、現在も引き続き研究を進めている。