2018 Fiscal Year Research-status Report
Various properties relative to intermittency of space-time fractional SPDEs
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16K05197
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
謝 賓 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (50510038)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 確率偏微分方程式 / 障害物 / Hypercontractivity / 指数的可積分性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度では確率偏微分方程式の長時間振る舞い，特にintermittency，不変測度の存在およびそれへの収束速さなどの性質を考察した．
まず，非均質なガウス型の時空雑音が加わった確率偏微分方程式に関する解の間欠性，ノイズの興奮度などの性質を引き続き調べてきた．非均質なガウス型の時空雑音はcatalytic超ブラウン運動の密度を特徴づけるとき現れた特異性を持つものである．昨年度に考察した非均質なガウス型の時空雑音を持つ時空の分数冪確率偏微分方程式の性質をさらに深く調べた．解の存在と一意性および正則性の証明を遂行するために，非均質なガウス型の時空雑音および分数冪作用素を持つ偏微分方程式の基本解に適切な条件を課し，厳密な評価を与えた．それらに基づき，解の存在と一意性の証明を遂行した．
次に，障害物を持つ確率反応拡散微分方程式の解の長時間振る舞いも引き続き研究を行ってきた．昨年度に検討したシングル反射壁を持つ乗法的ノイズの確率偏微分方程式についての対数型のHarnack 不等式およびその応用に関する証明を再検討して，証明の細部を修正してきた．加法的ノイズの場合については，マルコフ半群の超圧縮性を示した．また，共同研究で，ダブル反射壁を持つ確率偏微分方程式の解で決まったマルコフ半群に対して，ノイズの種類によって，冪型のHarnack不等式および対数型のHarnack不等式を示し，反射壁を持つ確率偏微分方程式に関するさまざまな重要な性質が解明できた．その成果は国際雑誌に掲示された．さらに，多次元の障害物を持つ確率反応拡散微分方程式のエルゴード性について考察した．以上で得られた結果は国際研究集会で研究発表を行った．また，2018年7月に信州大学にて「確率偏微分方程式とその周辺」の研究集会を共催した.なお，共著で「確率偏微分方程式」（岩波数学叢書，単行本）を執筆した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初計画の通り，非均質なガウス型の時空雑音が加わった確率偏微分方程式について，解の存在と一意性を示した．また，反射壁を持つ確率反応拡散微分方程式に関するHarnack 不等式およびその応用を考察して，良い結果をえて，国際雑誌に掲示された．そのため，本年度は概ね順調に進展しているものと考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
最終年度になるので，平成30年度の結果を踏まえて，引き続き非均質なガウス型の時空雑音が加わった時空分数冪確率偏微分方程式について，その解の長時間振る舞い，特に間欠性の研究を進めていく．また，確率カーン＝ヒリアード方程式などの非線形確率偏微分方程式についてのエルゴード性に関する研究を進める．さらに，研究成果を発信するため，積極的に国際研究集会で研究発表を行い，海外の研究協力者と緊密に連携し，共同研究を行う方針である．
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| Causes of Carryover |
当初計画で見込んだよりも少し安価に研究が進んだため，次年度使用額が生じた．
次年度使用額は2019年度の請求額と合わせて，海外の研究集会への旅費に充てる予定である．
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