2019 Fiscal Year Annual Research Report
Various properties relative to intermittency of space-time fractional SPDEs
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16K05197
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
謝 賓 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (50510038)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 確率偏微分方程式 / 確率Chan-Hilliard方程式 / 漸近的強Feller性 / kernel estimate / Harnack inequality / Log-Harnack inequality |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年では，主に特異性を持つ確率Cahn-Hilliard 方程式とランダムなストリングについての長時間にわたる振る舞いを研究した．詳細は以下の通りである．
一. 二重井戸型を含む対数型のポテンシャルを持つ確率Cahn-Hilliard方程式のエルゴート性．フランスのGoudenege氏との共同研究で，退化型ノイズと非退化型ノイズで摂動されたCahn-Hilliard方程式の長時間の振る舞いを考察した．ノイズが退化する場合，本質的な楕円型の条件の下で，漸近的な対数型のHarnack不等式を証明した．特に，これにより，重要な漸近的強Feller性を得た．また，ノイズが退化しない場合は，カプリングの手法により，冪型のHarnack不等式が成り立つことを示した．これらの結果は国際学術雑誌に投稿した．
二. 有界な凸領域に値をとるランダムなストリング(random string)についてのエルゴート性．退化するガウス型のノイズが加わったランダムなストリングの解に付随するマルコフ過程の不変測度の存在および一意性を示した．また，適切な条件の下で，平衡測度の指数的積分可能性などの性質も示した．
研究期間全体では，特異な半線形確率偏微分方程式の解のintermittencyに関連する様々の性質の研究に取り組んだ．とくに，非斉次型の時空ホワイトノイズが加わった確率偏微分方程式の解のintermittencyを示した．また，特異性を持つ確率偏微分方程式に付随するマルコフ半群についてのdimension-free Harnack不等式を調べた．これより，反射壁を持つ確率反応拡散方程式と対数型のポテンシャルを持つ確率Cahn-Hilliard方程についての重要な性質を得た．さらに，ジャンプ型の時空ホワイトノイズを持つ確率反応拡散方程式についての比較定理やランダムなストリングのエルゴード性の研究を行った．
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