2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05202
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
宮地 秀樹 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (40385480)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | タイヒミュラー空間 / タイヒミュラー距離 / レビ形式 / グリーン関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
タイヒミュラー空間の複素解析的構造の研究について調べた．今年度は，複素解析的な視点からポテンシャル論，つまり多重調和ポテンシャル論を展開する上で重要な多重調和グリーン関数に着目した．タイヒミュラー空間上の多重調和グリーン関数がタイヒミュラー距離の双曲正接の対数と一致するというKrushkalの公式に着目して，タイヒミュラー距離のレビ形式の計算を試みた．今年度はグリーン関数の極となるタイヒミュラー空間の点を固定して，タイヒミュラー写像の始微分は一般的（generic)になる点において，タイヒミュラー距離のレビ形式の計算に成功した．Krushkal氏が発表した論文では，この公式の完全な証明は与えられていないが，今回の計算の系として，彼の公式の正当性を支持する証拠を得た．このレビ形式の計算では，正則２次微分から定まる特異平坦構造の変分を詳細に研究する必要がある．Masur, Smillie, Veechなどの先行研究により，正則2次微分の空間の局所座標を適当に取ることにより，特異平坦構造の変分の無限小変形は２乗可積分な閉形式を用いて表すことができる．この座標において無限小変形を表す閉形式の小平-ド・ラーム分解を得た．特に調和形式の記述から，タイヒミュラー空間の接方向と２次微分の方向（ファイバー方向）の自然な分解表示を得た．
３次元ローレンツ空間に作用するアフィン作用を増田高行君との共同に研究した．アフィン作用の変形の記述では，自然にタイヒミュラー空間が現れる．この退化を研究すること，そして複素解析的な応用を研究することがこの研究の目的である．この研究において，代数的，幾何学的収束および強収束などのクライン群の理論との類似を研究した．実際，多面体収束についての研究を行い，特別な場合において類似が成り立つことを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
タイヒミュラー空間のグリーン関数についての研究は，特別な場合ではあるがそのレビ形式の計算に成功しているため，タイヒミュラー空間の複素解析的構造の研究としては順調であると考える．
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| Strategy for Future Research Activity |
グリーン関数のレビ形式の計算について，一般の場合の計算には，微分可能性，座標の設定などの準備が必要であると思われるが，特別な場合のアイデアや計算が大いに参考になると考えている．
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| Causes of Carryover |
翌年度に海外での講演が依頼されており，その旅費を捻出するため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究集会出席及び講演のための旅費を捻出する．国内外の研究者の招聘する．
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[Presentation] Extremal length geometry on Teichmuller space2016
Author(s)
Hideki Miyachi
Organizer
symposium on Differential Geometry/Teichmuller theory (in cooperation with American Mathematical Society, International Conference of The Indian Mathematics)
Place of Presentation
Banaras Hindu University, Varanasi, India
Year and Date
2016-12-17
Int'l Joint Research / Invited
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