2018 Fiscal Year Research-status Report
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16K05202
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
宮地 秀樹 金沢大学, 数物科学系, 教授 (40385480)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | タイヒミュラー空間 / モジュライ空間 / 多重グリーン関数 / 多重調和関数 / 多重調和測度 / ポアソン積分表示 / 極値的長さ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１．タイヒミュラー空間論における複素解析的側面およびポテンシャル論的性質の整備を行った．有限次元タイヒミュラー空間のベアス埋め込みは複素ユークリッド空間の有界超凸領域（hyperconvex domain）であるので，多重グリーン関数およびDemaillyの意味の多重調和測度が存在する．タイヒミュラー空間論の理想境界は，複素構造の退化情報（位相幾何学的情報）の集合であるので，理想境界を用いた複素解析的構造の研究では，複素解析的側面と位相幾何学的側面の関係を解明する必要がある．
今年度は，多重グリーン関数のポテンシャル論的および複素解析的性質の解明のため，タイヒミュラー空間の一般点において多重グリーン関数のレビ形式を計算し，Krushkalの公式の別証明を与え，レビ形式とThurstonのシンプレクティック形式との関係に言及した．そして，Demaillyの意味の多重調和測度の位相幾何学的およびモジュライ的意味（等角不変量との関連）を解明し，閉包で連続な多重調和関数に対するポアソン積分表示を得た．系として，Hubbard-Masur関数が定数関数であること（Mirzakhani-Dumas)の別証明，Wolpertによる曲面上の閉曲線の双曲的長さ関数の微分を表す正則２次微分のHubbard-Masur微分を用いた積分表示を得た．この表示はWeil-Petersson幾何学（L^2幾何学）とタイヒミュラー幾何学（L^1,L^\infty幾何学）の関係の解明に役立つと思われる．これらの結果は現在投稿中である．
２．ニューヨーク市立大学のDragomir Saric氏と共同で，普遍タイヒミュラー空間内のタイヒミュラー円板がサーストン閉包内において円板の境界まで同相に拡張することを示した．この現象は有限次元の場合との解離を示唆し興味深いと思われる．この結果はすでに投稿し受理されている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
タイヒミュラー空間の理想境界との複素解析的関係を与えるために，ポアソン積分表示（多重調和測度）の位相幾何学的およびモジュライ的意味（等角不変量との関連）の解明できたこと，そしてこれにより，単位円板（トーラスのタイヒミュラー空間）におけるポテンシャル論と一般種数の曲面のタイヒミュラー空間上のポテンシャル論の間の類似を得ることにより，将来のタイヒミュラー空間論の研究および位相幾何学的側面と複素解析的側面の一意化に対する指針を与えることができたため．
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| Strategy for Future Research Activity |
単位円板（トーラスのタイヒミュラー空間）におけるポテンシャル論の類似の研究，特に有界多重調和関数の境界値やポアソン積分表示との関連を研究する．タイヒミュラーモジュラー群（写像類群）のタイヒミュラー空間のベアス埋め込みによる像への作用は複素解析的であるので，座標を考えると，写像類は有界正則関数として表される．有界多重調和関数の境界値の研究はこのようなモジュライおよび位相幾何学的な対象に対しても応用があると考えられる．
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| Causes of Carryover |
次年度に参加を予定している国際研究集会が多く，それに参加するための旅費を補うため．
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