2019 Fiscal Year Annual Research Report
Research on complex analytical structure on Teichmuller space
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16K05202
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
宮地 秀樹 金沢大学, 数物科学系, 教授 (40385480)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | タイヒミュラー空間 / 双曲幾何学 / クライン群 / 擬等角写像 / 多重ポテンシャル論 / ポアソン積分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では，研究期間中に，タイヒミュラー空間の複素解析的構造，特に多重ポテンシャル論的視点からの研究を進めた．多重ポテンシャル論において重要な関数の一つである多重グリーン関数について，多重グリーン関数がタイヒミュラー距離を用いて表せられることを示すクKrushkalの公式の別証明を与えた．実際，タイヒミュラー距離のレビ形式をほとんど至る所で計算することにより，Krushkalの公式に現れる関数のレビ形式の非負性を証明した．この結果はすでに公表されている．ベアス埋め込みにおける多重調和測度とポアソン核を極値的長さを用いて特徴付け，ポアソン積分公式をタイヒミュラー空間に対して定式化した．この公式は上半平面の場合の古典的なポアソン積分公式の類似であることが示される．実際，多重調和速度はベアス境界上の次元がタイヒミュラー空間の次元と一致するような等角密度であることがわかる．さらに，ポアソン積分の境界挙動について研究して，単位円板の場合のSchwarzの定理の類似を得た．そして，終層予想の解決とこれらの研究を用いてタイヒミュラー空間のサーストン境界上の可測関数が正則関数の境界値を表すための必要十分条件を得た．これらの結果は投稿中である．
最終年度は，タイヒミュラー空間上の関数論について研究した．フレグメン-リンデレーフ型の定理の定式化をした．多重ポテンシャル論における，ベアス境界内の一点集合のpeak包のモジュライの視点による特徴付けを得た．そして基点が理想境界に発散するときに，多重調和測度がベアス境界上のディラック測度の収束するための条件を得た．これらの結果をまとめた論文は現在準備中である．
ストラスブール大学のAthanase Papadopoulos氏，学習院大学の大鹿健一氏と共同でフィンスラー距離について研究した．この研究は投稿中である．
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